例谈定义域在解题中的应用

山东省青州第三中学(262500) 岳洪伟

例谈定义域在解题中的应用

山东省青州第三中学(262500) 岳洪伟

函数是高中数学重要内容,贯穿始终,是教学过程中的重点,也是难点.定义域是函数要素之一,占有重要地位,在解题时如果忽视定义域会导致解题错误,本文对几个例题简要分析,希望在解题时充分重视定义域的重要作用.

一．判断是否为同一函数

例1:下列各组函数中,表示同一函数的是:( )

分析:判断两个函数是否是同一函数,需要函数的要素对应相同,在A.B选项中两函数定义域不同,C选项中两函数对应法则不同,所以正确选项为D,另外需要补充一点,求函数的定义域时,不能对函数的解析式进行化简、整理之后再求定义域,因为化简会改变函数自变量的取值范围,引起定义域错误.

二．判断函数奇偶性

分析:判断函数的奇偶性的首要步骤就是判断函数的定义域是否关于原点对称,如果对称再判断f(−x)=±f(x)是否成立,最后得出结论.在题目的四个函数中①先求出定义域为{1,−1},所以关于原点对称,并且把原函数化简后得到非常典型的一个函数f(x)=0,既是奇函数又是偶函数.②定义域为R,且所以为奇函数,如果推导时运算比较麻烦也可转化为判断f(−x)±f(x)=0是否成立.③求出函数的定义域为(−1,1],不关于原点对称,所以非奇非偶函数④求得定义域为{x|−2≤x≤2,x/=0},再化简原函数为显然为奇函数.通过以上四个小题,特别是在①④两函数中,定义域还起到了简化函数解析式的作用,如果不作相应的化简,会直接导致最后结论错误.

三．函数单调性中的应用

例3(2013北京模拟)已知函数其中b∈R,

(1)若x=−1是f(x)的一个极值点,求b的值.

(2)求f(x)的单调区间.

分析:在本题中利用导数得到函数单调性,属于基本方法,但在第(2)问中很容易把定义域当作R,忽视定义域,从而导致全部单调区间出错,所以在求函数单调性问题时要把定义域放到首要地位,以防失误.

四．在函数对称性中的应用

例4(2016武汉四月调研)函数的对称中心为( )

A. (−4,6) B. (−2,3)

C. (−4,3) D. (−2,6)

分析:本题可以由定义域进行快速解题,函数的定义域为{x|x/=−1,x/=−2,x/=−3},如果有对称中心,其定义域也必关于此点对称,所以此点横坐标只能为−2,答案选B．

五．解不等式中的应用

例5(2016湖南邵阳月考)已知函数f(x)的导函数f′(x)=5+cosx,x∈(−1,1)且f(0)=0,若f(1−x)+f(1−x2)＜0,则实数x的取值范围是___

分析: 由条件求得f(x)=5x+sinx,此函数是奇函数,且在(−1,1)上单调递增,由f(1−x)+f(1−x2)＜0得f(1−x)＜f(x2−1),所以,解得在本题中,不能漏掉原不等式中定义域的要求.

六．复合函数中的应用例6(2016广西柳州期中)已知函数ax+a)在区间上是增函数,则实数a的取值范围是___

分析:所给函数为复合函数,根据内外两层函数单调性“同增异减”原则,只需令g(x)=x2−ax+a在区间上是减函数,且g(x)＞0,所以解得容易遗漏函数定义域要求g(x)＞0导致出错.

变式练习:若函数f(x)=loga(ax2−x)(a＞0a/=1)在[3,4]上为增函数,则实数a的取值范围是____答案: (1,+∞)

七．求最值中的应用

例7.已知x2+y2−2y−3=0,求x2+2y2的取值范围.

分析:由x2+y2−2y−3=0得x2=−y2+2y+3代入x2+2y2得x2+2y2=y2+2y+3=(y+1)2+2,但一定不要漏掉由x2=−y2+2y+3≥0这一隐含条件决定了y的范围为[−1,3],所以原式取值范围为[2,18].

八．其它相关的应用

例8. 已知命题p∶α=β,命题q∶tanα=tanβ,则p是q的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

通过以上几个例题,能看出定义域在解题中的重要性,如果忽视了对定义域的研究,很有可能看似简单题目也会变得漏洞百出,导致失误丢分,所以在解题中,提高对定义域的的重视,也就会提高解题的正确率,达到事半功倍的效果.