追根溯源 生成概念——HPM视角下的初中函数概念的教学

广州市二中苏元实验学校(510000) 王碧莹

追根溯源 生成概念
——HPM视角下的初中函数概念的教学

广州市二中苏元实验学校(510000) 王碧莹

函数是描述千变万化的现实世界的数量关系中最基本、最重要的数学模型,函数概念是中学数学的中心概念之一．但是,由于函数是人类对客观事物的认识由相对静态上升到动态的飞跃,比较抽象,而八年级学生的认知水平还处于具体运算和形式运算的过渡发展阶段,因此,函数概念是初中学生学习过程中最困难的概念之一,初中函数概念的教学是一线老师关注的热点．

HPM,即History and Pedagogy of Mathematics,是数学史与数学教育的简称．数学史融入数学教育的研究是HPM领域的重要方向之一,是为满足提高数学效率而运用数学知识的一种教学理念[1]．最近,笔者观摩了林俊伟老师执教的人教版《数学》八年级下册“函数与变量”(第1课时)[2],引发笔者对初中数学概念教学的进一步思考,与同行交流．

1 活动设计

1.1 联系实际,问题引入

问题1.票房收入问题:每张电影票的售价为50元．(1)若一场售出150张电影票,则该场的票房收入是____元;

(2)若一场售出205张电影票,则该场的票房收入是____元;

(3)若一场售出x张电影票,则该场的票房收入y元,则y=___.

思考:

(1)票房收入随售出的电影票变化而变化,即y随___的变化而变化;

(2)当售出票数x取定一个确定的值时,对应的票房收入y的取值是否唯一确定?

(例如,当x=150时,y的取值是唯一、还是有多个值?)答:_______．

问题2.路程问题:汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为skm,行驶时间为th,填写下表:(表1)

表1

思考: (1)行驶路程随行驶时间变化而变化,即s随____的变化而变化;

(2)若汽车行驶th,行驶的路程为skm,则s=____.

(3)当行驶时间t取定一个确定的值时,对应的行驶路程s的取值是否唯一确定?

(例如,当t=10时,s的取值是唯一、还是有多个值?)答:________．

问题3. 图形问题:你见过水的涟漪吗?如图1,圆形水波慢慢地扩大,在这一过程中,当圆的半径r分别为10cm,20cm,30cm时,圆的面积S分别为多少?

图1

思考:

(1)圆的面积随半径变化而变化,即S随的变化而变化;

(2)若半径为rcm,圆的面积为S,则S=____.

(3)当半径r取定一个确定的值时,对应圆的面积S的取值是否唯一确定?(例如,当t=10时,s的取值是唯一、还是有多个值?)答:________．

设计意图: 挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情境,让学生经历探索具体情境中两个变量关系的过程,直接获得探索变量关系的体验.

1.2 交流探索,初步感知函数

问题1. 上述三个问题中,分别涉及哪些量的关系?通过哪一个量可以确定另一个量?

问题2. 请具体指出上面这些问题中,哪些量是变量,哪些量是常量.

问题3. 在前面的每个问题中,有几个变量?同一个问题中的变量之间有什么联系?

在学生充分发表自己意见的基础上师生归纳:上面的每个问题中的两个变量互相联系,当其中一个变量取定一个值时,另一个变量就有唯一确定的值.并给出函数概念.

(结合函数概念的形成,老师同步PPT展示函数的史料)

数学史料1——函数的萌芽阶段

公元前4000年左右就有了函数最原始的形态．14世纪法国数学家奥雷姆在表示随时间t而变化的变数x时画出图形,其中心思想就是用图形来表示一个变量的本质,它依赖于另一个量．17世纪,这种方法被天文学家开普勒和伽利略应用于天体运行方面的研究,伽利略关于自由落体等的研究始终包含着两个量同时变化的思想,这些语言被视为早期函数的雏形．函数一词最初出现在莱布尼茨写于1673年的手稿中,它用来表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的几何量．1714年,莱布尼茨在《微分学的起源与历史》中,用“函数”一词来表示依赖于一个变量的量．1748年,大数学家欧拉在《无穷分析引论》中下的函数定义为:“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何方式组成的解析式[3]．

设计意图:在数学史上,数学家们对函数的最初认识就是从两个相互依赖的量开始,认为函数就是由一个变量依赖于另一个变量的解析式,而我们学生在初中所学的函数概念就是这样一个变量说,因此学生对这3个例子是完全熟悉的,也是能理解的．选材既贴近学生的生活,符合学生的认知发展,降低理解难度,又遵循了人类历史上对函数的认识过程,即数学家最先认识到的是两个变量的函数关系．数学史的引入使学生的认知更丰盈．

1.3 动手实验,加深体验

问题1. 如图2,是抚顺春季某一天的气温T随时间t变化的图象,看图回答:

图2

(1)这天的 8时的气温是____℃,14时的气温是______℃,22时的气温是___℃;

(2)这一天中,最高气温是____℃,最低气温是____℃;

(3)这一天中,在4时～12时,气温( ),在12时～14时气温( ),在16时～24时,气温( ).

A.持续升高 B.持续降低 C.持续不变

思考:

(1)天气温度随的变化而变化,即T随____的变化而变化;

(2)当时间t取定一个确定的值时,对应的温度T的取值是否唯一确定?

(例如,当t=12时,所得温度T的取值是唯一、还是有多个值?)答:_______．

问题2.表2,我国人口数统计表中,年份与人口数可以分别记作两个变量x与y,对于表中每一个确定的年份x,都对应着一个确定的人口数y吗?

表2

问题3.用10米长的绳子围成一个矩形,当矩形的一边长x分别为3米,3.5米,4米时,它的邻边长y分别为多少?y的值随x的值的变化而变化吗?对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应吗?

问题4. 指出以上问题中的常量、变量,每个问题分别有几个变量?在每一个问题中,哪个是自变量?你能将其中的某个变量看成是另一变量的函数吗?(随着问题的提出,老师同步PPT展示函数的史料)

数学史料2——函数的发展阶段:

就在欧拉给出函数的解析式定义不久,他自己也发现了其局限性,认为图2、表2这类虽写不出变量间的解析式,但仍是两变量间的相互依赖关系,也应该是函数．于是在1755年的《微分学原理》序言中,欧拉给出了更一般的定义:如果某些量依赖于另一些量,当后面这些量变化时,前面这些变量也随之变化,则前面的量称为后面的量的函数．这里,欧拉明确地表述了变量之间相互依赖的变化关系,使人们对函数概念的认识在严密性上前进了一大步,它反映了数学对现实关系的摹写上的进化．

设计意图: 来自于实际生活中的三个例子,学生能理解．在学生的心中,最开始跟大多当年的数学家起初的认识一样,以为函数必须要有解析式,否则就不是．而图2,表2的例子就给了学生直观的冲击,虽变量间写不出解析式,但仍有依赖关系,这样开始过渡到“对应”的思想,让学生更深刻地体会到函数对应关系的表示方法有解析式法、图象法、列表法,有利于学生正确地掌握函数概念．数学史料引起学生的共鸣,让学生在与史上数学家相同的经历中加深对概念的理解．

1.4 概念辨析,深化理解

问题1. 如表3,是某班同学一次数学测试中的成绩登记表:这一数学测试中,

表3

(1)13号的成绩为___;

(2)17号的成绩为___;

(3)23号的成绩为____．

思考:

(1)任意确定一个学号x,对应的成绩f的取值是否唯一确定?

(2)测试成绩随____的变化而变化;其中常量是,变量是,是自变量,是的函数;

(3)任意确定一个成绩f,对应的学号x的取值是否唯一确定?

(4)x是f的函数吗?

问题2.两个变量x、y满足关系式|y|=x,填表并回答问题:

表4

y是x的函数吗?为什么?

(随着问题的发展,老师同步PPT展示函数的史料)

数学史料3——函数的完善阶段:

1837年德国数学家狄利克雷给出了函数的定义:“设a、b是两个确定的量,x是可取a、b之间一切值的变量.如果对于每一个x,有唯一的y值与它对应,使得当x从a到b连续变化时,y=f(x)也逐渐变化,那么y就称为该区间上x的一个连续函数．”这就是人们常说的函数的经典定义．这种“对应”的说法,清晰完美地刻画地函数两变量之间的关系. 20世纪初诞生的集合论彻底改变了人们思考问题的方式,以美国数学家维布伦为代表,结合康托的集合论给出了如今普遍认同的函数定义:给定两个集合A和B,如果集合A中的每一个元素在结合B中都有唯一确定的元素与之对应,则称集合A和B之间的对应关系为从集合A到集合B的函数.

函数概念的发展由最初的“解析式”到“变量说”到“对应说”,最后抽象为现在的“关系说”．在这个过程中,函数概念的抽象程度、严密性不断提高.从函数概念的历史来看,经历从感性到理性,从具体到抽象,从常量到变量,思维由具体到抽象的过程,不断反复、螺旋上升,反映了过程和对象不断统一的过程．

设计意图:源自于实际生活的表3,引发了学生的进一步思考,帮助学生认识函数概念的本质.问题1是学生熟悉的生活情景,在理解上没有难度,具体生动的例子,可以帮助学生理解函数概念“单值对应”这一核心内涵,有助于正确掌握函数概念.数学史的介绍让概念有血有肉,有利于学生理解,也对学生进行了情感教育,培养学生良好的数学品质.

1.5 例题解决,运用概念

例1.汽车油箱中有汽油50L,如果不再加油,那么油箱中的油量y(单位:L)随行驶路程x(单位:km)的增加而减少,耗油量为0.1L/km.

(1)写出表示y与x的函数关系的式子;

(2)指出自变量x的取值范围;

(3)汽车行驶200km时,油箱中还有多少汽油?

设计意图:巩固变量与函数的概念,让学生充分体会到许多问题中的变量关系都存在着函数关系,初步接触函数的不同表示方法.

1.6 学以致用,巩固概念

1.购买一些签字笔,单价3元,总价为y元,签字笔为x支,根据题意填表:

y(支) 1 2 3…x(元)

(1)y随x变化的____,关系式y=____,____是自变量, ___是___的函数;

(2)当购买8支签字笔时,总价为___元.

2.周末,小李8时骑自行车从家里出发,到野外郊游,16时回到家里.他离开家后的距离s(千米)与时间t(时)的关系如图3.

图3

(1)当t=12时,s=___;当t=14时,s=___;

(2)小李从___时开始第一次休息,休息时间为小时,此时离家____千米.

(3)距离是时间t的函数吗?

(4)时间是距离的函数吗?

设计意图:巩固变量与函数等概念,让学生充分体会到许多问题中的变量关系都存在着函数关系,隐含在函数关系中表示两个变量的对应关系有解析法、列表法、图象法.练习2(4)帮助学生进一步理解函数的“单值对应关系”,让学生明确“由哪一个量能唯一确定另一个量”,从而更好地理解自变量与函数的关系,养成学生逆向思维的习惯．

1.7 小结:函数的概念

设计意图:通过小结,让学生抓住理解函数概念的实质．

2.教学思考

2.1 准确定位,精心预设,生成概念

俗话说:一台好戏,一定有一个精彩的剧情．课堂是一个舞台,要使剧情精彩,教师就得定位准,精心设计．本节课是函数入门课,首先必须准确认识变量与常量的特征,初步感受到现实世界各种变量之间联系的复杂性,研究两个变量之间的特殊对应关系,同时感受数学研究方法的化繁就简．因此本节课把教学重点放在认识“两个变量间的特殊对应关系:由哪一个变量确定另一变量”．另一方面,变量与函数的概念把学生由常量数学的学习引入变量数学学习中,较为抽象,学生初次接触函数的概念,难以理解定义中“唯一确定”的准确含义．但是,考虑到学生在日常生活中也接触过函数图象、两个变量的关系等生活实例．所以,在本节课的教学中,教师优化教材内容,精心设计教学活动,由实例展开,以问题导线,从学生较为熟悉的现实情景入手,引领学生认识变量和函数的存在和意义,体会变量之间的互相依存关系和变化规律,初步理解函数的概念．借助生活实例,引导学生辨析两个变量的关系中,由哪一个量的变化引起另一个量的变化,进而指出由哪一个变量确定另一个变量,初步体会函数概念的核心,正确掌握概念．并结合概念的学习引进史料,还原数学家们建立数学概念的火热思考．课堂在教师的精心设计下,环环相扣,遵循函数概念的发展,给学生创造了函数概念发生发展的过程,在问题的导线下,层层深入理解,生成概念,剖析内涵,掌握概念的本质．

2.2 在HPM视角下,激发学习动力,探究概念形成

章建跃老师说过,概念教学的核心是:让学生经历概念本质特征的概括过程,使学生有机会通过自己的观察与思考,从具体事例中抽象出概念的本质特征进而获得概念,因此,在概念教学中,要通过恰当的问题情境启发学生思考,让他们经历概念本质特征的抽象过程[5]．在历史上,函数概念的形成经历了非常漫长的过程,才逐步发展到现在相对较完善的地步．如此长的一个发展过程,要在一节课内理解掌握,对初中的学生来说是比较困难的．考虑到初中学生的认知特点,又考虑到历史上对函数的认识的过程,正好与初中生的认知相吻合,因此,在本节课教学中,教师运用信息技术播放,把数学史融入教学,给学生的概念理解搭“手脚架”,带给学生以认知冲突,引发学生对新知的需求,使得学生的学习表现不是停留在知识与技能的掌握这一层面,而是进一步达到了在感受函数的悠久历史中传承知识的文化,将“冰冷的美丽”转化为“火热的思考”,让函数概念的教学厚重而灵巧,有效地促进教学目标的达成．

弗赖登塔尔指出:“我们不应该完全遵循发明者的历史足迹,而是经过改良过同时有更好引导的历史过程”．在教学中,教师采用了“动作分解”,精心设计教学环节,针对函数概念在产生过程中遇到的几个问题创设相类似的简单生活情景,沿着历史上数学家探究函数概念的足迹,把历史上数学家对函数的4次抽象认识,用生活中具体例子来说明,让学生体验函数概念产生的过程,了解数学知识在历史上产生的来龙去脉,引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法,感知现实世界中变量之间联系的复杂性,数学研究从最简单的情形入手,化繁为简．这样使学生既感到直观,又循序渐进地认识函数,完全符合历史发生原理,把数学史知识隐性地融入到课堂教学中．

2.3 浓妆淡抹,取舍有道

课堂教学也如文章,在哪些环节该浓墨淡彩,在哪些地方该取舍,教师需心中有数,把握好详与略的度,否则易出现“头重脚轻”或者“浮光掠影”,影响教学的目标的落实．本节课从整体上分为“情景的引入,概念生成,概念的巩固与应用,课堂小结”四个板块,其中概念的形成又经历了“认识变量与常量——初步感知函数——函数概念的变量法认知——函数概念的对应法认知”四个环节．在教学中,教师在细节上精心设置每一个预设的问题,关注学生的学习心理,了解学生思维的最近发展区,创设情景,让学生“简约”地经历概念的生成．同时,在整体上合理分配各板块和环节教学时间,使得整个概念的教学既蕴味深长,又不冗长抽象,符合学生的认知．

[1]吴骏,汪晓勤.数学史融入数学教学的实践:他山之石[J].数学通报, 2014(2):13-16

[2]数学·八年级下册.人民教育出版社,2012

[3]田方琳,汪晓勤.初中数学课堂上的数学故事[J].中学数学月刊, 2013(9)

[4]宋瑛.HPM视角下_函数的概念_第一课时_的教学与感悟.福建中学数学,2015(4):5-8

[5]章建跃.如何实现“思维的教学——以平面图形的旋转”的教学为例.中学数学参考,2015(4)10-12