浅谈初中数学教学中学生数学解题能力的培养

广州市黄埔区新港中学(510735) 邹振华

浅谈初中数学教学中学生数学解题能力的培养

广州市黄埔区新港中学(510735) 邹振华

数学教育家波利亚指出:“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练.”用解题训练培养解题能力,提高数学素养.那么,怎样加强解题训练,从而提高学生的解题能力呢?

一、培养认真审题的好习惯.

仔细、认真地审题,提高审题能力是解题的首要前提.教学中要求学生养成仔细、认真的审题习惯,通读题,对题目中的条件(特别是发现题目中隐含条件)、问题及有关的情况,进行整体认识,充分理解题意,把握本质和联系,理清正确的解题思路.

例1: 已知弓形弦长弓形高为6,求弓形的面积.不认真审题学生可能会给出下面的结论:

图1

图2

正确的应为:如图2,已求得OA=4,已知弓形高为6,弓形的高大于半径,所以此弓形应大于半圆,即图2,

(注:此题中的条件弓形高为6)

二、培养学生运用数学思想方法解题.

(一)数形结合的思想:

“数”与“形”无处不在.借助图形能使问题明朗化,不但直观,而且全面,整体性强,能比较容易地找到问题的关键所在,对解题大有益处.比如:(1)求几个图象围成的图形的面积,需要根据函数解析式求出特殊点的坐标,通过整合图形,分割图形,补全图形来求解.(2)函数中的最值问题.(3)河边取水问题,求两条线段之和最小.需要通过轴对称,利用轴对称的性质,构造两点之间线段最短,来得到最小值,(4)两边之差最大问题.构造三角形,根据两边之差都小于第三边来解决等等.

(二)转化的数学思想

解数学题最根本的途径是“化难为易,化繁为简,化未知为已知”.也就是把复杂繁难的数学问题通过一定的数学思维、方法和手段,逐渐将它转变为一个大家熟知的简单的数学形式,然后通过大家所熟悉的数学运算把它解决.比如,我们学校要建一个生物园,学校给出的是一块形状不规则的地,如何丈量的它的面积呢?首先在课堂上教学生依据一定的比例,将实际地形绘制成纸上图形,然后将纸上图形分割成若干块梯形、长方形、三角形,利用学过的面积计算方法,计算出这些图形的面积之和,也就得到了这块不规则地形的总面积.在这里,我们把无法计算的不规则图形转化成了可以计算的规则图形,从而解决了土地丈量问题.

比如:我们熟知的解分式方程就是通过去分母将分式方程转化为一元一次方程或一元二次方程来解,再经检验确定分式方程的解.

“转化”的思想,是解题最重要的思维习惯.面对难题,面对没有见过的题,首先就要想到转化,也总是能够转化的.平时,老师在课堂上要教学生是怎样解题的,是怎样“化难为易,化繁为简,化未知为已知”的.并要求同学之间多交流交流成功转化的体会,深入理解转化的真正含义,切实掌握转化的思维和技巧.

例2:如图,矩形ABCD中,BC=2,DC=4,以AB为直径的半圆O与DC相切于点E,则阴影部分的面积是多少?.解此题时就应注意将不规则图形转化;将阴影部分面积转化为规则图形来求面积.连接OE、交BD于点F,则△OFB～=△EFD∴

(三)分类讨论的思想

要求学生在考虑问题时一定要周全,多想几个如果.

图3

图4

例3: 圆中两平行弦长分别为6cm、8cm,半径为5cm,则两弦之间的距离是多少?

学生总出现只考虑一种情况的答案:

(1)当两弦在圆心两旁时,如图所示:

(2)如果两弦在圆心同旁时呢?

例4:相交两圆的半径分别为公共弦长为2,两圆的圆心距为4或2.

(1).两圆心在公共弦的两侧.(2).两圆心在公共弦的同侧.

例5:圆中一弦所对的弧是两条,所对的圆周角也是两种情况.

(四)培养“方程”的思维能力

数学是研究事物的空间形式和数量关系的,最重要的数量关系是等量关系,其次是不等量关系.最常见的等量关系就是“方程”.比如等速运动中,路程、速度和时间三者之间就有一种等量关系,可以建立一个相关的等式:速度时间=路程,在这样的等式中,一般会有已知量,也有未知量,像这样含有未知量的等式就是“方程”,而通过方程里的已知量求出未知量的过程就是解方程.我们的学生在小学就已经接触过简易方程,而初一则比较系统地学习解一元一次方程,并总结出解一元一次方程的五个步骤.如果学会并掌握了这五个步骤,任何一元一次方程都能顺利地解出来.初二、初三学习解二元一次方程组、一元二次方程、分式方程.解这些方程的思维几乎一致,都是通过一定的方法将它们转化一元一次方程或是一元二次方程的形式,然后用大家熟悉的解一元一次方程的五个步骤或者解一元二次方程的求根公式加以解决.另外,初中物理中的能量守恒,化学中的化学平衡式,现实中的大量实际运用,都需要建立方程,通过解方程来求出结果.因此一定要将解一元一次方程和解一元二次方程学好,进而学好其它形式的方程.所谓的“议程”思维就是对于数学问题,特别是现实当中碰到的未知量和已知量的错综复杂的关系,善于用“方程”的观点去构建有关的方程,进而用解方程的方法去解决它.

三、解完题后的反思训练.

让学生养成解题后反思的习惯,是解题教学中非常重要的一环,必须十分重视.

(一)检验求解结果.主要是核查结果是否正确无误,推理是否有理有据,解答是否祥尽无漏.

例6:设x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a−2=0的两个根,当a为何值时,有最小值?最小值是多少?

解:

(二)讨论解法.主要是寻求其它不同解法或改进解法,分析解法特征关键和主要思维过程;寻找规律,多题一解等.这将有利于开拓思维、积累经验,整理方法;有助于增强思维的灵活性和发展提高解题能力.

(三)解题后的总结、归纳、推广.

例7:求得菱形的面积是两条对角线的乘积的一半.那么,四边形的两条对角线互相垂直,是否都满足此结论?

例8:证明:顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形,以后,可进一步发展推广为:“这个平行四边形的周长等于原四边形的两条对角线长度和.”

解题后的反思、总结、推广,也是培养学生积极思维、发明、发现、创造突破能力的有效途径.如果能让学生养成习惯,会收到很大的效益.

四、增强自信是解题的关键

自信才能自强,在考试中,总是看到有些同学的试卷出现许多空白,有好多题根本没有动手去做.俗话说,艺高胆大,艺不高就胆不大.但是做不出是一回事,没有去做又是另一回事.稍微难一点的数学题都不是一眼就能看出它的解法和结果的.要去分析、探索、比比画画、写写算算,经过迂回曲折的推理或演算,才能显现出条件和结论之间的某种联系,整个思路才会明朗清晰起来.没有动手去做,又怎么知道自己不会做呢?即使是老师,拿到一道难题,也不能立即答复学生.也同样要去分析研究,找到正确的思路后才能讲授.不敢去做,稍微复杂一点的题(不一定是难题,有些题只不过是叙述多一点),是缺乏自信心的表现.在数学解题中,自信心是相当重要的.要相信自己,只要不超出自己的知识范畴,不管哪道题,总是能用自己所学过的知识把它解出来.要敢于去做题,要善于去做题.这就叫做在“在战略上藐视敌人,在战术上重视敌人”.具体解题时,一定要认真审题,紧紧抓住题目的所有条件不放,不要忽略了任何一个条件.一道题和一类题之间有一定的共性,可以想想这一类题的一般思路和一般解法,但更重要的是抓住这一道题的特殊性.抓住这一道题与这一类题不同的地方,数学题几乎没有相同的,总有一个或几个条件不相同,因此思路和解题过程也不尽相同.有些同学老师讲过的题会做,其他题就不会做,只会依样画瓢,题目有些小的变化就无从下手.当然做题先从哪儿下手是一件棘手的事,不一定找得准.但是,做题一定要抓住其特殊性则绝对没错.选择一个或几个条件作为解题的突破口,看由这个条件能得出什么,得出的越多越好,然后从中选择其它条件有关的,进行推算或演算.一般难题都有多种解法,条条大道通罗马.要相信利用这道题的条件,加上自己学过的那些知识,一定能推出正确的结论.数学题目是无限的,但数学的思想和方法却是有限的.我们只要学好了有关的基础知识,掌握了必要的数学思想和方法,就能顺利地对付那无限的题目.题目并不是做得越多越好,题海无边,总也做不完.关键在于你有没有培养起良好的数学思维习惯,有没有掌握正确的数学解题方法.当然,题目做得多也有若干好处:一是熟能生巧,加快速度,节省时间,这一点在考试中时间有限制时显得尤为重要;二是利用做题来巩固、记忆所学的定义、定理、法则、公式,形成良性循环.解题需要丰富的知识,更需要自信心.没有自信心就会畏难,就会放弃.只有自信才能勇往直前,才不会轻言放弃,才会加倍努力地学习,才有希望攻克难关,迎来属于自己的春天.

总之,只有让学生学好有关的基础知识,认真审题,把握必要的数学思想和方法,养成良好的数学思维习惯,不断反思、总结、归纳、推广,举一反三,增强学生的自信,那么就能逐步培养学生解题能力,提高学生的数学整体素质.