《等可能性》教学实录与反思

江苏省苏州市吴中区迎春中学(215128) 凌勤霞

《等可能性》教学实录与反思

江苏省苏州市吴中区迎春中学(215128) 凌勤霞

2015年11月20日,江苏省中学青年数学教师优秀课观摩与评比活动在江苏省淮安清江中学举行,活动内容为现场上课.笔者有幸代表苏州市参加了此次比赛,课题为苏科版九年级上册《等可能性》.本文结合自己的切身磨课经历就如何发挥学生主动性、构建高效课堂谈谈自己的体会.

一、基本情况

1.1 教材分析

苏科版八年级下册的“认识概率”是让学生知道生活中有大量的随机事件,可以用大量试验结果的频率来估计概率,而九上“等可能条件下的概率”是从理论的角度求随机事件的概率.它与八下第8章“认识概率”相衔接,是“认识概率”的延续.而本课时“4.1等可能性”这节课是学习本章的开始,重在理解等可能的意义,使学生会根据随机试验结果的客观对称性和均衡性判断试验结果是否具有等可能性.

1.2 教学目标

(1)会列出一些类型的随机试验的所有可能结果;

(2)理解等可能的意义,会根据随机试验结果的对称性或均衡性判断试验结果是否具有等可能性．

1.3 教学重点理解等可能性概念的意义,会根据随机试验结果的对称性或均衡性判断试验结果是否具有等可能性.

1.4 教学难点等可能性概念的形成．

二、课堂实录节选

环节一、情境

师: 同学们,我们知道数学来源于生活,又服务于生活,生活中很多领域很多方面都涉及到数学,比如一场足球比赛,其中也蕴含着数学知识.下面请大家观看一段小视频,注意观察裁判的动作.

师: 视频中裁判在做什么?他在用抛硬币决定什么?……你觉得这么做对双方公平吗?合理吗?为什么?

此时让学生自由的说出自己的想法

师: 为了更好地研究足球裁判抛硬币决定开球是否合理,我们今天将一起学习新的知识——4.1等可能性.

【设计意图】足球运动是学生熟知的又感兴趣的活动,通过这个情境激活学生已有的经验,以学生的已有经验作为新知识的生长点,自然的引出本课时要探究的课题.观看视频的引入方式可缓解师生间的陌生感和紧张感,也可让学生真切的感受到数学来源于生活,服务于生活,同时可激发学生的主动探究的兴趣.

环节二、探究

【探究1】师: 什么是等可能性呢?让我们回到刚才的抛硬币问题.规则是抛到正面甲开球,抛到反面乙开球(板书:正→甲开球,反→乙开球)裁判抛硬币,双方能预测到结果吗?

生:不能

师:虽然无法确定结果是什么,但是能知道可能出现的结果有哪些吗?这些都是什么事件?

生:能.结果必定是正面或是反面中的其中一种情况.

师:正面朝上或是反面朝上的机会一样吗?

生:一样

师:怎么来验证机会一样呢?

生:沉默

师:八年级时我们曾做过抛硬币试验,当时教材中列举了一些统计学家统计出的实验数据,我们一起来回顾一下.

试验者试验次数正面次数正面占比德摩根4092204850.05%蒲丰4040204850.69%费勒10000497949.79%皮尔逊240001201250.05%罗曼洛夫斯基806403969949.23%

通过这些大量的实验数据,我们发现抛一枚硬币,出现正面朝上和反面朝上的可能性都接近0.5,可见每一面朝上出现的机会是均等的.因此裁判用抛硬币的方式决定哪方先发球是合理的,大家也都认可这种方式.

【设计意图】为了引导学生得到等可能性的概念,此处提出了四个问题进行探究:①抛一枚硬币会出现几种情况? ②这是个什么事件?③出现的最终结果有几个?④出现正面朝上和反面朝上的机会均等吗?前三个问题学生对答如流,但如何解释机会均等,笔者在磨课时作了几次修改.最初是引导学生得到硬币是质地均匀的几何体,一带而过.但发现学生并未真正的理解,会有疑问:为何质地均匀就机会均等了呢?要想验证机会均等那就要通过实验,但这样的实验八年级下册频率与概率一节已做过,放在此处做显然重复了,且容易造成重点偏离.如何不做实验让学生真正的明白机会均等呢?最终选择了列举统计学家的实验数据来说明问题.这张表格在八年级下册频率与概率出现过,利用大次数实验数据不仅具有说服力还节省了大量时间,更重要的是学生能从根本上理解了为什么机会均等.

【探究2】师:现在看老师手中的百宝箱,里面有一些道具,请同学抽取一个道具,我们来研究研究.请看某某同学抽到的道具,一个不透明的袋子中装有标号为1、2的两个小球,这些球除标号外都相同,搅匀后从中任意摸出1个球,摸到每个号码的的可能性相同吗?

师: 摸球之前你能确定我将会摸到哪个球吗?可以知道会有哪些可能的结果出现吗?因此摸到1号,2号球都是什么事件?摸到每个球的机会均等吗?

生:随机事件,机会均等.

师:大家都直观感受到摸到每个球的机会是均等的,我们怎么验证呢?

生:可以通过做大量的试验来验证.

师:我们能不能不做实验,用数学方法解释每个球出现的机会均等呢?请同桌互相讨论一下.

师:我们可以把摸球试验和抛硬币试验对应起来,正面→1号球,反面2号球,我们前面已经用试验证实过抛硬币抛到正面和反面的机会是均等的,那就意味着摸到1号球和2号球的机会也是均等的了.所以摸到每个号码的可能性是相同的.

师:现在我把一个标号为3的小球放进这个袋子中,这3个球除标号外都相同,搅匀后从中任意摸出1个球,摸到每个号码的球的可能性相同吗?

师: 如果袋子中有4个球呢?摸到每个号码的球可能性还一样吗?如果袋子中有n个球呢?此时摸到的所有可能结果有多少种?它们都是什么事件?每次摸球的结果有几个?摸到每个球的机会均等吗?

师: 一般地,设一个试验的所有可能发生的结果有n个,它们都是随机事件,每次试验有且只有其中的一个结果出现,如果每个结果出现的机会均等,那么我们说这n个事件的发生是等可能的,也称这个试验的结果具有等可能性.

【设计意图】学生从抛硬币的4个问题中已经初步感受到了事件的等可能性,这时教师趁势追击,通过摸2个球、3个球、4个球、n个球的问题引导学生进行探究,从而提炼出等可能性的4个基本特征.对于机会均等,由于前面已通过大次数实验数据说清楚了这个问题,所以不必作一一说明,可以通过类比对应思想将摸2个球、3个球···n个球的试验与抛硬币试验相对应,同时也渗透了从特殊到一般的数学思想.

环节三、应用

1.【概念辨析】

辨析1:抛掷一枚图钉,图钉落地后出现“钉尖着地”和“钉尖不着地”的可能性相同吗?

辨析2:桌上倒扣着背面完全相同的4张不同花色的扑克牌(每种花色各一张),从中任取一张,抽到每种花色的扑克牌的可能性相同吗?

辨析3,抛掷一枚质地均匀的骰子一次,出现6种点数中任何一种点数朝上的可能性相同吗?

【设计意图】不仅从正面加深了学生对等可能性概念的理解,也利用反例进行了深化.让学生明确:同时满足4个基本特征的才具有等可能性,而4个基本特征中只要有1个特征不符合,比如每个结果出现的机会不均等,那么它就不具有等可能性.在分析过程中引导学生将这些问题与前面的摸球试验进行类比,让学生感受到所有问题都可以转化为摸球问题,建立数学模型,提高了学生分析问题解决问题的能力,发展了学生的思维能力．

2.【例题讲解】

例(1)一只不透明的袋子中装有1个白球、1个黑球、1个橙球,这些球除颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出1个球.摸到每个颜色的球是等可能的吗?

【设计意图】本题一方面是巩固等可能性的概念,另一方面是教师板书示范书写格式,让学生关注事件描述的完整性,为后续事件的规范描述作铺垫．

例(2)一只不透明的袋子中装有2个白球、1个橙球,这些球除颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出1个球.摸到白球与摸到橙球是等可能的吗?为什么?

3.【数学实验1】实验要求:1.每次任意从袋中摸一个球,摸后放回,充分搅匀后再摸第二个;

2.4 人一组,1人拿袋子,1人摸球,1人记录,1人监督.共摸球20次;

3.实验结束后记录员将实验数据填入总表;

【设计意图】本题是(1)的变式,意在让学生发现各题间的差异与共性.其难点是如何解释摸到白球和橙球的机会不均等,为此设计了数学实验环节.通过分组实验,利用汇总的大数据,让学生在试验中主动探究,深刻的感受到摸到白球和橙球不是等可能的.小组实验的方式也培养了学生的动手能力和合作精神.

例(3)改变(2)中的条件,使摸到白球和摸到红球是等可能的.

【设计意图】由非等可能性转变到等可能性,这是对等可能性概念的再次深化理解.开放题型,发散了学生的思维、调节了课堂气氛,也为后面提升环节中数学实验2作铺垫.

环节四、提升

抛掷一个质地均匀的正十二面体,12个面上分别标有1～12这12个整数,抛掷这个正十二面体1次．(道具出示)

(1)朝上一面的数会出现哪些可能的结果?这些结果的出现是等可能的吗?

(2)出现朝上一面的数是奇数与出现朝上一面的数是偶数是等可能的吗?为什么?

(3)出现朝上一面的数是4的倍数与朝上一面的数是6的倍数是等可能的吗?为什么?

师: 你能和前面的摸球模型联系起来吗?其实它就相当于摸几个不同号码的球?

生:相当于摸球试验中摸12个不同号码的球

【数学实验2】在本题的背景下,请你设计一个抛掷正十二面体出现的等可能事件,把它写在老师发给你的小纸片上,写好后对折两次,放入这个不透明袋子.

师: 现在这个不透明袋子中有张形状大小完全相同的纸片,搅匀后任意摸一张纸片,摸到每张纸片是等可能的吗?为什么?相当于摸几个号码不同的球?

生: 是等可能的,相当于摸45(学生人数45人)个号码不同的球.

师:请一个同学上来任意抽一张纸片,然后我们一起来判断纸上同学写的是否符合要求.

【设计意图】前3小题是为了进一步加强对等可能性概念的认知,利用概念解决问题.渗透模型思想,让学生感受到所有的实验都可以找到对应的数学模型—-摸球试验.后面的数学实验本身就具有等可能性,试验要求是让学生尝试举例,感悟事件的等可能与不等可能,加强对事件等可能性的理解.让学生体会数学服务于生活的同时优化了学生的思维品质,培养了创新意识.整个实验全程由学生独立完成,人人参与,在动脑、动手、动口的活动中灵活运用概念,充分体现了以学生为主体的教学理念.

环节五、总结

这节课我们通过自己动手实验、通过观看统计学家的数据,体会了机会的均等,学习了等可能性,知道了满足什么样条件的试验是具有等可能性的.在这个过程中我们还发现了这些试验其实都可以找到对应的数学模型,如:抛硬币试验、摸球试验,这就是数学中的模型思想.

三、课后反思

1.关注学生兴趣点,创设有效生活情境

创设有效的问题情境是开展数学教学活动的前提,它能起到思维定向、激发欲望的作用.本节课通过一段足球开场猜边的视频来创设情境,既是学生熟悉的,又十分简明;既能拉近与学生的心理距离,激发学生的探究兴趣,又能体现“数学来源于生活,又服务于生活”的指导思想.激活了学生已有的经验,以学生的已有经验作为新知识的生长点,自然的引出本课时要探究的课题,引向了数学的本质——等可能性.

2.引导学生主动探究,发挥学生主体作用

在整个教学过程中教师一直充当的是组织者和引导者的身份,通过层层设问,促进学生积极思考,主动探究.以学生熟悉的抛硬币为研究起点,再过渡到摸两个小球的问题,引申到摸三个球、四个球、n个球的问题,让学生在类比中探究得到等可能性的概念.符合探索、发现、归纳等思维规律,体现了以教师为引导、学生是学习主体的教学理念.应用引申环节,通过两个数学实验让学生在活动中体验等可能性,亲身感受等可能性的本质.调动了学生的积极性,主动性,让学生在动脑、动手、动口的活动中掌握概念,理解概念,还体验了发现概念的喜悦感,从而进一步激发学习数学的热情.这样的课堂,学生获得的不仅仅是数学知识,更重要的是一种过程体验,一种分析问题和解决问题的能力,一种自然的智慧生成.

3.组织多元教学活动,建构科学高效课堂

中学数学课程标准指出“教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有知识经验基础之上.教师应激发学生的学习积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正掌握基本的数学知识与技能、数学思想方法,获得广泛的数学活动经验.”本课在这方面进行了精心设计,在教学过程中设置了多元活动.比如探究概念中的摸球活动,应用中的实验1和提升中的实验2,教师提供机会让学生动手操作、观察思考、自主探究、合作交流,在活动中发现问题、提出问题、分析问题、解决问题,亲身经历数学概念的生成过程,深刻理解数学概念的内涵和外延,提升学生的思维的深度和广度.

4.充分挖掘知识联系,渗透数学思想方法

本课时的难点是等可能性概念的形成,为了突破难点利用摸小球试验,引导学生从“所有可能出现的结果有几种”“能确定出现的是什么结果吗?”“最终的结果有几个”“这些结果出现的机会均等吗?”这四个问题去思考.它们是建立在学生已有的知识上的,所以很容易得解.但是对于为什么机会均等,学生就解释不清了.此时可以借用之前已解决的抛硬币问题,把摸到1号球与抛到正面对应,2号球与抛到反面对应.既然前面已经用大量数据试验证实过抛硬币抛到正面和反面的机会是均等的,那就意味着摸到1号球和2号球的机会也是均等的.摸两个球的问题解决了,那随后摸三个球、四个球、n个球的问题也都能解决,由此从特殊到一般归纳出等可能性的概念.概念形成的同时建立了摸小球的数学模型.运用概念时强化数学建模思想,随后出现的抛图钉,抛骰子、摸扑克牌、抛正十二面体试验都能转化为建立的摸小球模型中.这样就引导学生跳出问题统揽全局,有效帮助学生分析问题本质,提升学生的数学素养.

5.合理使用媒体技术,融合传统教学与现代媒体

本节课在传统教学的基础上,融入了多媒体教学手段.上课伊始,利用多媒体播放视频导入新课,这比由教师口述问题情境要生动有趣的多.缓解了紧张的气氛也让学生在愉悦的情境下产生对新知识的好奇与渴望,从而增强学生学习的积极性.数学实验1利用EXCEL表格中的求和功能,求出了12个小组实验数据的总和,让大家看到了大实验数据的结果,省时省力.数学实验2利用了多媒体实物投影,将学生写的等可能性事件投影出来,这有助于更好的进行教学互动和教学反馈.多媒体的合理使用,对学生的探究起到了启发、辅助和展示的作用,既有利于教师的教又有利于学生的学.