基于“三维数学教育思想”的课堂教学实践与思考——二次函数在区间上的最值问题

☉江苏省东台中学 邹施凯

基于“三维数学教育思想”的课堂教学实践与思考
——二次函数在区间上的最值问题

☉江苏省东台中学 邹施凯

一、写在前面

2011年，笔者有幸参加江苏人民教育家培养工程的学习研究活动，并借此机会丰富完善了我的“三维数学教育思想”（注：见江苏教育出版社《著名特级教师教学思想录》），并通过实践的检验和修正，进一步指导我们的教学，如此循环往复，不断提升.

“三维数学教育思想”主要从宏观、中观和微观三个层面立体阐述了中学数学的教育观.宏观上，提出寻求数学教育观中间地带的三维道路；中观上，提出构建数学生态课堂的三维策略；微观上，提出实施数学教学有效性的三维细则：一是从教师角度的“三课教学法”，二是从学生角度出发的“三思学习法”，三是从解题研究角度出发的“三看解题法”.具体而言，“三课教学法”是指夯实课标概念、拓展课标例题、发散课标问题，即上好数学课的前提是研究透彻课标，把握好教学的方向；“三思学习法”是指建模的思想、辩证的思维、化归的思路，即从数学思想方法的高度去理解数学、设计课堂；“三看解题法”是在具体的解题过程中，通过条件看特殊、结论看转化、过程看沟通，灵活机动地去解决问题.

2016年11月，盐城市教育局组织“让学引思”暨江苏省人民教育家培养工程培养对象的成果汇报活动，让学引思的目的是构建生本课堂，充分调动其自身内在的积极因素，发挥学生的主观能动性，同时，通过教者的科学引导，引起学生的深入思考.史宁中教授曾说过：“课堂教学不在于教师讲了多少，讲得有多精彩，而在于通过教师的引导能引发学生思考.”笔者借此机会就“三维数学教育思想”下微观层面上设计了一节关于“二次函数在区间上的最值问题”的专题探究课，希望能引起大家的思考与共鸣.

二、教学片段

（一）情境导入

师：二次函数在区间上的最值问题，同学们一定很熟悉，它是函数问题的重点，也是高考命题反复涉及的热点，下面请大家通过小组合作来解决问题1，希望能引发同学们的思考.

问题1求函数y=3x2-12x+5当自变量在下列范围内取值时的最值.

图1

图2

图3

图4

生1（小组代表）：如图（投影给出），二次函数y=3（x-2）2-7的大致草图，其对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，-7），且函数在（-∞，2］上是单调减函数，在［2，+∞）上是单调增函数，所以四个问题的答案一目了然.

教学说明：本题是二次函数最值问题中最基本的，也是最常见的一种问题，即二次函数的对称轴确定、自变量区间确定（俗称“两定型”），引导学生通过“三思学习法”中的建模的思想，画出二次函数图像，并取出对应区间内的部分图像，最值自然水落石出.设计此题的目的主要是引发学生的思考，为后续运动变化状态下的二次函数最值问题作铺垫.

师：这位同学回答得很好！上述问题都是在给定对称轴和给定区间的情况下求最值的，问题比较好解决，若把定区间改为动区间，我们如何来思考此类问题呢？

问题2已知函数f（x）=x2+4x+3，x∈R，g（t）表示f（x）在［t，t+2］上的最大值，求g（t）.

生2：先画出函数f（x）=x2+4x+3，x∈R的草图，确定其对称轴，然后对区间［t，t+2］和对称轴之间的位置关系进行分类讨论.

师：思路不错！下面请大家分组合作，进行探究.

生3（小组代表）：

图5

图6

图7

图8

解：因为y=（x+2）2-1，所以函数对称轴为直线x=-2，将动区间［t，t+2］从左向右移动，讨论如下：

如图5，当t+2≤-2，即t≤-4时，g（t）=f（t）=t2+4t+3.

如图6，当t≤-2≤t+2且t较t+2远离x=-2，即-4≤t≤-3时，g（t）=f（t）=t2+4t+3.

如图7，当t≤-2≤t+2且t+2较t远离直线x=-2，即-3≤t≤-2时，g（t）=f（t+2）=t2+8t+15.

如图8，当-2≤t，即t≥-2时，g（t）=f（t+2）=t2+8t+15.

师：在这里，老师要说明一点，当t=-3时，区间［t，t+ 2］两端点关于x=-2对称，同时取得最大值g（t）=f（t）=f（t+ 2）=0.

教学说明：在问题1的基础上，问题2的设计体现了动与静的完美结合，从“三思学习法”的角度去理解，也是一种辩证的思维，在二次函数对称轴确定的基础上，把运动的区间辩证地看着静止的状态，分别就区间在对称轴左侧、跨对称轴、对称轴右侧，将问题转化为问题1的处理方法，达到化动为静的目的，体现了化归的思路.

师：同学们，处理二次函数最值问题的关键就是看对称轴和取值范围两者的关系，刚才在问题2中是定“对称轴”，动“区间”，接下来我们把动与静的位置关系换一换，再进行下面的探究.

问题3已知y=x2-2ax+a，x∈［-2，3］，求函数的值域.

教学说明：经过大家的充分思考和一番讨论、争辩，小组代表发言如下：

生4：因为y=（x-a）2+a-a2，所以函数对称轴为直线x= a，讨论如下：

图9

图10

图11

图12

如图9，当区间［-2，3］在对称轴左侧，即a≥3时，y∈［f（3），f（-2）］=［9-5a，4+5a］.

如图10，当-2≤a≤3且“-2”较“3”远离直线x=a，即≤a≤3时，y∈［f（a），f（-2）］=［a-a2，4+5a］.

如图11，当-2≤a≤3且“3”较“-2”远离直线x=a，即-2≤a≤1

2时，y∈［f（a），f（3）］=［a-a2，9-5a］.如图12，当a≤-2，y∈［f（-2），f（3）］=［4+5a，9-5a］.生5：最后要把所有结果归纳一下，

教学说明：尽管本题的对称轴是运动变化的，但我们可以运用辩证的思维把它看成是静止的，反过来把静止的区间［-2，3］看成从左向右不断移动的，把问题化归为问题2中的处理方法，分类讨论，各个击破.

师：刚才大家分析的是假定对称轴确定而自变量取值范围不确定情况下的二次函数最值问题，如果这两者都在运动，我们又有何良策呢？

问题4求函数y=-x（x-a）在x∈［-1，a］上的最大值.

生6：先确定它的对称轴，再结合区间分类进行讨论.

又x∈［-1，a］，所以a＞-1，同上分析，将对称轴看成静止的，让区间从左向右移动，只要分如下三种情况讨论：

图13

图14

又a＞-1，则-1＜a≤0时，ymax=f（a）=0.

图15

教学说明：当对称轴和区间都在运动时，我们可以先把对称轴视为静止状态，让区间从左至右，分别确定在对称轴左侧、跨对称轴、对称轴右侧三种情况讨论，把问题辩证地看成一定一动型来研究，达到化归的目的.

师：从“两定型”到“一定一动型”，再到“两动型”，大家经历了一个由简单到复杂，由静止到运动的探究过程，一定有很多体会与想法，把它说出来，与大家一起分享吧！

生11：解决此类问题要先把对称轴确定下来.

生12：运动型问题其实并不难，只要我们善于动脑，把一定一动问题看成“一定”+“另一定”；把两动看成“一定”+“一动”，最终回归到两定问题，体现了化归的思路.

生13：运动的问题可以静止地去看，任何事物都是辩证的.

师：实际上只要题目给出二次函数的图像和区间，无论是确定的数字，还是不确定的字母，我们都可以以“一瞬间的静止”来处理它，刚才几位同学归纳得都很好！感受也很深刻，能辩证地看待和思考问题，这就是人生的最大收获！

三、教学反思

1.研透课标，对照课程标准的要求夯实课标概念、拓展课标例题、发散课标问题

《高中数学课程标准（2011年版）》明确指出，数学课程的设计，要充分考虑学生学习的特点，符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣，引发学生的数学思考，重视学生已有的经验，使学生能够体验从实际背景中抽象出数学问题，构造数学模型，寻求结果和解决问题的过程.本节课的教学体现了课标的基本要求，诠释了课标的内涵，反映出教者对课程标准的深刻理解，以求二次函数最值为思路对问题进行了由静态到动态的有效探究.

本节课的教学设计，从“静止+静止”（确定的二次函数和确定的区间）开始研究函数的最值，到“静止+动态”（确定的二次函数和动态的区间）下求函数最值，再到“动态+静止”（动态的函数图像和确定的区间）下求函数最值，最后到“动态+动态”（动态的函数和动态的区间）下求函数的最值，问题在层层深入的过程中逐步展开，对课本例题进行了有效的拓展与变式，通过教者对学生的让学与引思，引领学生主动合作与探究，有效诠释了课程标准“以生为本”的理念，为学生的思维发展架起梯、搭起桥，引发了学生深入的思考，充分挖掘了学生的思维潜能，促进了学生认知结构的优化和探索能力的提升，让学生在经历问题探究的过程中体会了由特殊到一般、转化、建模、分类等数学思想方法，学生乐在其中，不知不觉中学会了解决问题的方法，提升了解决问题的能力.

2.构建模型，引领学生在思想方法的指引下学习建模的思想、辩证的思维、化归的思路

从微观的角度来分析，求二次函数在区间上的最值问题，关键要抓住三个点予以比较，即抛物线的顶点和区间的两个端点.无论是对称轴和区间确定与否，首先应该求出二次函数的对称轴并画出其对称轴和简易的抛物线，建立比较大小的数学模型，即建模的思想，然后通过所给区间与对称轴之间的位置关系，进行分类讨论，无论对称轴是确定的直线还是不确定的用字母表示的直线，我们都必须先把它安排“确定”下来，作为“不变”的量，用辩证的思维去思考问题，并最终将问题转化到我们熟悉的“静止+静止”（函数确定、范围确定）类问题上来.

特别地，在问题2中，f（x）=x2+4x+3，x∈R在区间［t，t+ 2］上的最大值，其中t≤-2≤t+2时，其最大值是f（t）还是f（t+2），就要看和这两个值谁离直线x=-2较远，体现了数形结合的建模思想化动为静的转化思想，更体现了一种辩证的思维方式.在分类的基础上，将问题化归至静态情形下，并通过对图像的观察来比较大小，实现了问题的化归.

3.尊重学生，让其在探究问题的过程中学会条件看特殊、结论看转化、过程看沟通

纵观本节课的学习，学生由熟悉的问题探究到陌生的问题，由静态的问题逐步研究到动态的问题，整个学习的过程基本上都在学生小组合作探究下完成的，教者始终尊重学生的意见，使每位学生的潜能都得到最大可能的发挥，让不同层次的学生都能学有所获，使学生真正成为学习的主人.课堂上，教者深度诠释了“让学引思”的教学理念，在层层深入的4个问题中，始终让“思”于生、让“议”于生、让“讲”于生、让“问”于生，使学生有足够的时间和空间经历建模、观察、计算、表述等活动，教者在活动过程中恰到好处的“点睛”、“生疑”更是让学生的思维豁然开朗.

从解题的角度来分析，二次函数的对称轴是特殊的，若是用字母表示直线，我们可以理解为它处于运动状态，是不确定的，但我们也可以理解为它已经确定了，先把它看着特殊的直线给定下来，这就是一种条件看特殊；对于给定的区间，无论是数字区间，还是字母区间，我们也可以在分类的基础上把区间内的这部分抛物线看成是静止的、特殊的，在基于这种辩证理解的基础上，去探寻最值，去把最值问题转化为区间端点的函数值和顶点函数值之间的大小比较问题，这样的处理凸显了“三看解题法的内涵”，使解决问题的思路清晰自然，题目的结果水到渠成，从而使问题得以顺利解决.所以，不管是动态的问题还是静态的问题，主要是在这个解决问题的过程中作好沟通，把动态的问题向静态转化，把陌生的问题向熟悉的问题转化，才是解决问题的关键.