加强命题研究，明确备考方向——以全国卷Ⅱ解析几何命题为例

☉广东省河源市广州大学附属东江中学 张 雷

加强命题研究，明确备考方向
——以全国卷Ⅱ解析几何命题为例

☉广东省河源市广州大学附属东江中学 张 雷

高考真题，对于高三备考来说，起着“指挥棒”的作用.加强对高考真题的研究是有效备考的重要途径.研究高考真题，可使我们明确重要知识点的考查形式，进而研究相关问题的求解思路以及问题求解的具体方法.本文以解析几何试题为例说明.

一、研究命题的结构、特征

近几年新课标全国卷Ⅱ理科考查知识点对比：

从考查内容来看，可得出以下信息：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的概念与性质以及直线与圆锥曲线的位置关系、直线与圆的位置关系是每年必考的重点内容，考查形式多样，既有选择题、填空题，也有解答题.一般以选择题、填空题突出考查直线与圆的位置关系，圆锥曲线的概念与性质的应用，考查椭圆的离心率、双曲线的离心率、双曲线的渐近线等计算问题，以解答题重点考查直线与圆锥曲线特别是直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系.题量一般为两小（2道选择题或选择题、填空题各1道）一大（1道解答题），设置在压轴题的附近.

通过此类问题求解，可以有效地检测和提高学生的数学能力.

二、研究问题的求解策略

解析几何的核心观点就是用恰当运用代数的方法解决几何问题，基本思想是数形结合思想，核心方法是坐标法.用解析法研究几何图形的性质，须先将几何图形置于坐标系中，让“形”与“数”对应起来：把点转化为坐标、把曲线转化为方程，把题目中明显的或隐含的解题所需要的一切几何特征，用数式和数量关系表示出来，具体关系，如图1所示：

图1

（1）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；

（2）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.

本题的实质是研究四边形OABC的形状是否可能为菱形？如果是，它的面积是多少？

由于只有当B为椭圆W的顶点时，四边形才可能成为菱形，其他情况均不可能成为菱形，因而涉及两种情况：

（1）特殊情况（B为右顶点）求菱形面积；（2）一般情况（B不是顶点）探究四边形OABC是否可能为菱形.其中渗透了分类讨论思想，考查了反证法、几何特征的代数化、运算能力等.

策略研究：菱形几何特征的选择及其代数化，反证法，代数运算能力.特别是第（2）问，究竟选择菱形的什么几何特征入手对后续的代数运算有较大的影响.因此，在复习教学中，我们应当做好以下几个环节：

（1）落实解析几何的基础知识：包括直线方程与斜率，圆与圆锥曲线的方程和性质，点、直线、圆和圆锥曲线之间的位置关系，等等.

（2）适当复习几何图形的几何特征：包括角平分线的性质、直线垂直、线段平分、点共线、线共点、线段相等、面积相等、特殊四边形的性质与判定等等.

（3）总结几种题型的研究方法：包括弦长与面积等度量问题、探究问题、存在性问题、最值问题、定点问题、定值问题、共点问题、共线问题等等.

三、研究问题解答的方法、程序

此部分研究主要包括解法步骤的确定、相关公式的选择、推演过程的优化.解析几何问题的解答，主要涉及以下思想方法：

（1）坐标法：坐标法是解析几何的基本方法，要能够在具体问题中写出相关点的坐标、直线的方程、圆的方程、圆锥曲线的方程，并用坐标与方程研究几何问题.

（2）函数与方程思想：对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线段的长度及a、b、c、e之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效.从另一视角看，当题中独立条件的个数少于未知数的个数时，所研究的问题就会转化为某一个或几个未知数的函数问题.

（3）分类讨论思想：解析几何问题中常涉及到直线的斜率是否存在、最值问题中某个参数是否为0，以及几何背景中某一位置关系是否具有多种可能，等等.

（4）数形结合思想：解析几何具有直观的几何图形，解题中利用图形的直观性，可简化解答过程.另外圆锥曲线和圆都具有对称性质，有效利用这一性质，常可减少变量的引入，进而简化计算.

（5）参数法：解析几何问题的处理过程中，因直线的斜率、曲线方程、点的不确定性，常需引入适当的参数来刻画点、直线或圆锥曲线的变化状态，从而把所研究问题转化为参数的函数、方程、不等式来求解.

（1）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；

（2）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围.

与椭圆方程联立，消去y并整理得

（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0.

解得x=-2或x=-

与椭圆方程联立并消去y得

利用弦长公式得

所以（k-2）·（k3-2）＜0，解得＜k＜2.

说明：根据已知定点所在的位置，可将直线方程设为y=k（x+），也可设为x=my-，解题中要灵活运用这两种方程形式.联立直线与椭圆方程，消元得含x或y的一元二次方程，则直线与椭圆相交，即此方程有两个不同实根，其中一根已经确定，即x=-，故另一个根可利用韦达定理求得.在求出线段AM的长度后，线段AN的长度，可利用直线AM与AN斜率的关系进行代换，进而简化计算.

综上，对历年高考真题的研究，是高三备考的重要内容.据此可使我们明确某一知识的命题视角、考查题型，进而研究解决相关问题的通性通法.解析几何是高中数学主干内容，本文通过对近4年全国Ⅱ卷中解析几何试题归纳，总结出命题规律，并探究问题求解的程序、通法，以期对学生备考有所帮助.