改变条件，互换结论，拓展应用

胡素芬

[摘 要] 变式教学能够多角度、多方位地发展学生的数学思维，对于某些知识点衍生的填空题或选择题的讲评过程，不能唯分数论、唯答案正确论，而应该追本溯源，条理清晰地进行基于四种基本策略的题组型变式.

[关键词] 条件变式；结论变式；锁链变式；转化

笔者所在学校建校时间不长，但是历年中考的数学成绩不弱. 究其原因，是数学复习课认真备课，每次周测卷坚持自编试卷. 为了不让学生在“题海”中拼尽全力却毫无方向，数学教师坚持自己纵身跳进“题海”，奋力选择有价值的数学问题，或将其连题成组，或将其汇总成卷，让学生接触到的题目至少经过两遍以上的筛选.

最近一个阶段是在各种函数的梳理和复习的基础上复习相似三角形，于是在上周的周测卷中，笔者将2015年滨州中考的第12题放在了选择题第3题. 阅卷过程中笔者发现，年级213人参加考试，选对此题者共189人，有24人出错. 看上去这个问题初三年级学生基本过关，可是在随后的问卷调查中发现，其中156人是猜对的，另外33人中也基本上是通过画图猜测或代入点的具体坐标猜测的，能够通过严格推理证明得到正确答案的学生简直凤毛麟角. 于是产生了这次试卷讲评的第一份教案：分析解题的各种方法，并辅以几道类似的习题加以巩固.

教案一

在准备这道题目的试卷讲评课过程中，笔者发现类似的习题较多，所以这一串题目由于题量大、题数多，显得杂乱无章，甚至给人一种颠三倒四、略显混乱的感觉，很容易让学生在联系的过程中迷失研究方向，从而忽视最核心、最本质的数学事实. 怎么办呢？

冷静思考，常见的变式训练有四种基本策略，即条件变式（强化或弱化条件，改变条件）；结论变式（目标变式，将结论进行变化）；对称变式（条件和结论进行互换）；锁链变式（利用前面一问的条件进行后面疑问的推导和应用）. 而第一稿的教案中一组变式有那么多题目，究竟应该如何安排才能使这节习题讲评课的结构更加有条理，更加有效地促进学生数学思维的提高和发展呢？

再次仔细审查一遍原题的两类比较典型的多种解法发现：在添加双高构造一直线上三个等角之后大致分为两大类：一是用假设点的坐标进行代数计算（求这个角的正切值），二是利用相似三角形面积比的性质和反比例函数系数的几何意义来计算. 所以这节讲评课的第一个关键点是让学生一题多解，激发学生的创新思维，再根据从具体数值到用字母表示，体会从特殊到一般的过程，自主探索得到结论；第二个关键点是正向和逆向使用这个公式，即进行对称式变式；第三个关键点是利用这个公式或者推导公式的过程去解决其他问题，也就是锁链变式. 根据这三个关键点，分别设置不同的题组，在每组变式题组的设置过程中都进行变式训练.

经过再三思考和反复琢磨，第二稿教案产生.

教案二

第一组变式的目的是从不同数字到字母，引导学生在解题过程中逐渐感悟出结论，并且充分体会从特殊到一般的规律，能够用字母表示数，引导学生在动点变化的题目中寻找不变的元素.

探究条件变化后结论是否成立，是基于对问题核心的探索. 在证明或计算过程中，把握问题的本质很重要. 纵观各地各类型的考试卷，发现命题者经常通过更改题目的载体，强化或者弱化题目的条件等手段，改变题目的呈现形式，迷惑学生，其目的在于检查学生是否真的了解知识的实质，是否真的掌握这一类问题的解题策略和通法通则，考查了学生的思维能力、分析问题和解决问题的能力. 因此，教師在日常教学中应通过分析问题，引导学生理解题目，把握基础图形、核心问题和本质内容，逐渐学会用数学思想分析客观世界，用数学方法解决各种问题.

2. 第二组变式

第二组变式属于对称性变式，是在相同背景下，从正、反两个不同的角度思考可以由条件得到的结论，也可以由原结论得到原条件. 其目的在于训练学生的双向思维，引导学生逐步体会根据第一组变式得出的结论不仅可以已知两个反比例函数系数求出两个锐角的三角函数，还可以逆向使用公式，即已知一个反比例函数系数和一个锐角的三角函数求解另一个反比例函数系数. 坚持对于定理和公式进行逆向使用的训练，有利于培养学生数学思维的完备性.

3. 第三组变式

第三组变式属于锁链式变式，经历了“条件变化”“互换结论”的探究后，学生对于题目最内在、最本质的内容有了深刻的认识和理解，不会再被题目的形式所干扰. 新课标实施以来，常见考题立足于对学生应用意识和创新意识的培养，从具体情境中抽象出数学模型，也是对数学题赋予了应用价值. 但是，数学应用除了容易想到生活、生产实际中的应用，更为隐性、有层次感的应用是数学在数学领域内的应用，即把探究出来的结论应用于其他的数学情境之中，以各种数学背景加以体现，培养学生灵活运用定理和公式的能力. 在前两组变式的基础上，第三组变式题组进行了拓展应用，目的在于利用已经得到的结论或者探索结论类似的方法进一步研究和解决点的坐标或者线段长度之间的数量关系等问题，将这道简单的选择题作进一步拓展和延伸.

4. 第四组变式

第四组变式属于加强版的锁链式变式，除了强调唯一的公共点这一特殊要求，初步渗透分类讨论思想外，还与第三组变式一起再次欣赏对于原题的看似复杂的代数解法，并且在代数计算的过程中进一步体会通法通则和数学的理性精神.

第二次上课后笔者再次反思，看似完整的课堂总觉得少了些什么. 合上笔记本继续思考，从解题层面来看，似乎已基本完成教学任务，但是还有没有改进的空间呢？冥思苦想之后发现，从图形运动的角度在第二组变式中应该利用几何画板制作一个动点轨迹的小课件，即，在已知一个反比例函数和一个锐角三角函数不变的情况下，探索另一个象限中符合条件的点的轨迹，经过代数计算后再进行图形验证. 这样应该能够更好地体现数形结合思想，对于这类题目的解答和思考也应该会更加完整、有效. 另外，还有一种变式的类型没有考虑：是否能够将结论发散出去，进行进一步挖掘呢？这些都有待进一步研究和打磨.

回顾“出卷—阅卷—备课—修正—上课—反思”的整个流程不难发现，在这节试卷讲评课中，变式的要领是“改变条件，拓展结论和综合运用”. 让思维变得深刻，变式教学是有效的教学方法之一. 而本课的第二次设计将变式题目进行分组，突出了“改变条件，互换结论和拓展运用”是非常有效的变式手段. 通过“改变条件”，可以使学生切实感受到在题目的主干部分出示条件，哪一些条件对结论会造成直接影响，造成了什么影响，怎样造成影响；通过“互换结论”，充分挖掘这类题目的价值，以对学生周密、完备的数学思维起到锻炼作用；而“拓展应用”则体现了这类题目在数学方面的应用价值.

变式的核心就是模型思想. 将所学的内容整理、归纳出类型和方法，并把类型和方法作为整体积累，经过加工提炼，得出有长久保存价值或典型的结构与重要类型——数学模型，将其有意识地记忆下来，逐渐形成模型解题策略，增强模型解题意识. 从思维角度看，利用数学模型解题体现了定式思维的正迁移积极作用，是将“未知题目”转化成“已知类型”，将“陌生图形”转化为“基础图形”，将“非常规条件”转化为“标准题型”的划归过程. 通过模型思想的学习，可以达到“知一题，会一类、懂一片”的学习目的，不仅深刻理解了这一类问题所需的知识，在变式联系的过程中，还不断地主动思考、分析、归类，从而真正起到增效减负的作用，将“苦做”变成“乐学”，让学生在课堂内外不断享受数学思维带来的喜悦和乐趣.

教书之道在度，学习之道在悟. 想让学生更好地领悟真实的数学，就不能够简简单单地忽略数学概念，分散数学知识，割离数学题目. 教书之道如何把握这个“度”呢？笔者认为无非是重视备课这一教学环节. 不仅概念课要注重精心设计，习题课、复习课和讲评课都要反复思量并认真准备，备好课之后不仅需要再三思量，更加需要不断磨课. 在进行备课、反复磨课的过程中，不断斟酌和思考怎样设计才能更加有利于发展学生的数学思维，怎样做才能起到事半功倍的教学效果，怎样研究才能让我们的数学课堂充满活力. 根据常见的变式的四个原则，对于典型题目不断地改变条件，互换结论，拓展应用，并不断地钻研和探究. 只有教师“度”得巧妙，学生才能“悟”得透彻；只有教师“度”得合理，学生才能“悟”得顺利；只有教师“度”得灵活，学生才能“悟”得长久！