探讨一元二次方程中的五要点

摘要：一元二次方程是初中数学课程的重要内容，也是中考的热点之一，本文梳理总结了一元二次方程五方面的知识点，并佐以实例，对学生系统地学习一元二次方程及相关知识有很大的帮助作用，也可供教师教学参考.

关键词：一元二次方程；概念理解；教学设计

作者简介：马宏伟（1978-），男，甘肃岷县人，专科，中学一级教师，主要从事初中数学教法研究.一、一个概念

我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.概念的关键是“一元”、“二次”、“整式”方程及二次项系数不能为零，它的一般形式为ax2+bx+c=0（a与b和c为已知数，且a≠0）.

二、二条性质

1、如果a+b+c=0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一根为1，反过来也成立；

2、若a-b+c=0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一根为-1，反过来也成立.

三、三种不完全形式

1、ax2+bx=0（c=0）；2、ax2+c=0（b=0）；3、ax2=0（b和c同时为0）.

四、四种基本解法

1、直接开平方法；2、配方法；3、因式分解法；4、求根公式法.

五、五条注意事项

1.判断一个方程是否为一元二次方程，必须先将其化简整理成为一般形式，再根据概念作出肯定或否定的判断.

例1下列方程中是一元二次方程的是（）

A.ax2+bx+c=0

B.2x2+xy+x+1=0

C.6x2-2x+1=（2x-1）（3x+2）

D.（x+1）22=2x3

答：应选（D）

解析备选答案A中无a≠0的限制条件；B中含有两个未知数；C容易误认为是一元二次方程，但展开整理后二次项将消去，故正确答案为（D）.

2.切勿忽视二次项系数不为零的隐含条件

例2方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（）

A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m≠±2

答：应选（B）

解析由题意，得|m|=2

m+2≠0 联立解得m=2.本题易错选为A，这是只考虑了|m|=2而忽略了隐含条件m+2≠0所造成的.

例3一元二次方程（1-k）x2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A. k>2B.k<2且k≠1

C. k<2D.k>2且k≠1

答：应选（B）

解析一般情况下仅考虑Δ=（-2）2+4（1-k）>0k<2容易忽视1-k≠0，从而造成漏解，应综合求解即得k<2且k≠1

3.若说一个方程有实数根，不能马上就想到一元二次方程，进而去考虑根的判别式，还应同时“兼顾”一元一次方程；或只想到Δ=0，亦应充分考虑到“两个实数根”有可能相等，也可能不等.

例4k为何值时，关于x的方程（k-1）x2-（2k+1）+k+1=0有实数根？

解析此方程没有说明一定是一元二次方程，所以要分一次方程和二次方程兩种情况来考查.

（1）当k-1=0即k=1时，原方程化为-3x+2=0，∴x=23

（2） k-1≠0即k≠1时，由Δ≥0知（2k+1）2-4（k-1）（k+1）≥0，即k≥-54，∴k≥-54且k≠1

综合（1）（2）可知，当k≥-54时，方程有实数根.

例5关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m=0有两个实数根，那么m的取值范围是（）

A.m>0B.m≥0

C.m>0且m≠1 D.m≥0且m≠1

答：应选（D）

解析由△≥0且m-1≠0得出结论

4.运用方程的根的定义解题时，应周密思考，否则极易造成漏解

例6已知实数α、β满足条件α2-7α+2=0，β2-7β+2=0，求βα+αβ的值.

解析∵α2-7α+2=0，β2-7β+2=0，

∴α、β是一元二次方程x2-7x+2=0的两实根

由根与系数的关系，得α+β=7，αβ=2

（1）当α=β时，βα+αβ=2（这一点容易疏忽）

（2）α=β时，βα+αβ=α2+β2αβ=（α+β）2-2αβαβ=7 2-2×22=452

5.解含有字母系数的一元二次方程，需分类讨论

例7解关于x的方程（a-1）x2-2ax+a=0

解析（1）当a-1=0，即a=1时，得-2x+1=0∴x=-12

（2）当a-1≠0，即a≠1时，Δ=4a-4（a-1）=4a

① 若a<0，则△<0，方程无实数根；

② 若a=0，则△=0，x1=x2=0；

③ 若a>0，则△>0，得x1=a+aa-1，x2=a-aa-1

综上得：当a=1时，x=-12；当a<0时，方程无实根；当a=0时，x1=x2=0；当a>0时且a≠1时 ，x1=a+aa-1，x2=a-aa-1.

参考文献：

[1]吴健.阅读理解专题讲解[J].数理化学习，2015（2）：5-6