理科考试研究·初中

王泽宁

摘要：数学问题的解决归根结底就是数学思想方法的应用，而数学思想是知识的概括，是知识的本质，同时也是知识的具体实践与应用，在解答问题的过程中，猜想，探寻合理可行的解答思路，是锻炼我们处理问题能力的有效手段. 特例解题其实是一种“以退为进”的策略，能在特定的复杂环境中，灵活的运用知识与方法解决问题，这也是当前数学核心素养的价值体现.

关键词：特例；数学方法；问题解决

数学问题的解决归根结底就是数学思想方法的应用，而数学思想是知识的概括，是知识的本质，同时也是知识的具体实践与应用，在解答问题的过程中，猜想，探寻合理可行的解答思路，是锻炼我们处理问题能力的有效手段. 本文以一道竞赛题为例，通过从一般到特殊，由动到静的极端化思考方式，寻找解题策略，凸显“柳暗花明又一村”的情景.

一、特例牵线，投石问路

例1如图1，H为△ABC的垂心，且AB=CD=6，F为AB中点，求DH+HF的值.

分析由题提供的条件可知点D是线段AB上的任意一点，由此猜想当点D运动到点A、点B或与点F重合时的特殊情形，显然结论是不变的.

特殊情况1：如图2，当点D运动到点A时，可得D、H、A三点重合. ∴ CD与AC重合，从而DH=0，HF=3

∴DH+HF=3.

特殊情况2：如图3，当点D运动到点B时，可得D、H、B、E四点重合.

∴ CD与CB重合，从而DH=0，HF=3∴DH+HF=3.

特殊情况3：如图4，当点D运动到点F时，可得D、F两点重合.

∴CD与CF重合. 从而可得△ADH∽△CDB，

∴DHAD=DBCD，∴DH=32，

∴DH+HF=32×2=3.

这样通过图2、3、4的特殊情况取值后，得到最终的结果DH+HF的值是3，一定程度上在已知一般条件的情况下可通过特殊情形解决问题的方法技巧，也容易引发探求一般情况下解决此题的方式.

二、方法引用，水到渠成

通过特殊情况3的解答情况下，自然想到在这特殊解法的过程中所蕴含的解题思想方法，容易发现在点D的运动过程中△ADH∽△CDB始终成立，由此猜想当D运动到一般情况下是否得到相同的结论. 这样从一般到特殊，特殊到一般的思维运动过程中，解题方法也逐步清晰 .

常规解法：如图1，设DF=a，DH=b，

∴AD=3-a，BD=3+a

∵ △ADH∽△CDB，∴DHAD=DBCD，

即b3-a=3+a6，∴a2=9=6b.

∴HF2=a2+b2=9-6b+b2=（3-b）2 ，

∴HF=3-b（b≤32）.∴DH+HF=b+3-b=3

三、 习题变式，提升应用

数学问题的解决并不是为了单纯的解决一个题目，而是通过基本问题的解决，掌握解题的思想方法与技巧，达到这一类问题的解决，提升思维的应用与创新能力.

变式如图5，H为△ABC的垂心，且AB=6，设△ABC的面积为S1，△ABH的面积为S2.求S1·S2的最大值

解法设AD=x，则DB=6-x∵△ADH∽△CDB，

∴DHAD=DBCD，∴DH·CD=x（6-x），

∴S1·S2=AB·CD2·AB·DH2=9x（6-x）=-9（x-3）2+81，

∴当x=3时，S1·S2的最大值是81.

同类型的变式我们可以采用相同的特征即两个三角形相似来解决，而对于不同类型的问题我们就可以采用特例所蕴含的思想方法来解决问题。

四、举一反三，触类旁通

例2如图6，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD//AB，E、F为圆上的两点，且∠CDE=∠ADF，若⊙O的半径为52，CD=4，求弦EF的长.

特殊情况（如图7）：当点E与点C重合时，则EF=AC.

延长AO交CD于H，

连接CO.

∵ CD//AB，∴ AC=AD，

∴ OH⊥CD.

∴OH=32，AC=25，EF=25.

由特例得出EF=AC的结论，结合条件中圆周角的等量关系，寻找同圆中相等的圆周角所对的弦相等，利用垂径定理，从而把问题转换到Rt△OEH和Rt△AEH中求解.

常规解法：如图8，当CD在点O点上方.

延长AO交CD于H，连接CO.

∵ ∠CDE= ∠ADF，

∴ ∠EDF= ∠CDA.

∴ EF=AC.

∵ CD//AB，

∴AC=AD.

∴ OH⊥CD

∴OH=32，AC=EF=25.

在通過特例的帮助解决此问题之后，会发现CD与圆心O的位置关系有两种，CD可在点O之上，也可在点O之下，因此也能联系图形得到图9.

情况2：如图9，当CD在O点下方时，连接CO.

∵∠CDE= ∠ADF，

∴∠EDF= ∠CDA.

∴EF=AC.∵CD//AB，

∴AC=AD.∴OA⊥CD.

∴ AC=EF=5

五、退中求进，积累沉淀

特例解题其实是一种“以退为进”的策略，“退”并非毫无章法，而是“退”到我们最容易看清问题的地方，看到问题的本质.“退“可以从一般到特殊，可以从复杂到简单，也可以从抽象到具体. 当”退“到最基本的形式之后，“进”也就自然而然产生了. 在“退”与“进”的过程中，我们的思维方式和思考手段全都在这一过程中展现出来. 善于“退”以及足够的“退”则是为了之后我们大步的“进”.

用特例解决问题也并非是投机取巧，实质是利用特殊情况的分析来促成我们进一步的思考，为我们的思路打开一条新的途径. 通过简单情况或者特殊情况的处理，再归纳、联想，从而发现其一般性. 长此以往不仅有助于培养我们的推理能力和创新意识，也能让我们在特定的复杂环境中，灵活的调用知识与方法解决问题，这也是当前数学核心素养的价值体现.