特例法

张艳 胡跃华

特例法是研究、解决数学问题的一种简单、常用的方法，它来源于特殊与一般的数学思想，其原理依据清晰、直观、自然。是我们学习数学知识必须理解和掌握的基本方法之一。 它在解答数学各种题型或研究数学问题中都有巧妙的应用，是一种得分的基本方法。

特殊与一般的数学思想：

根据数学原理，要证明一个命题是真命题，必须证明所有满足条件的情形命题成立才行;而要否定一个命题，只要找到一个反例即可，即反驳。反例：即找到一个满足条件而不能得出结论的例子，就可以否定这个结论。

一般成立特殊一定成立;

特殊成立一般不一定成立;

特殊不成立一般一定不成立.

我们可以巧妙地运用特例法来解决数学问题。由于特例法是一种特殊的方法，它的应用具有一定的局限性，虽然不能用来解决所有数学问题，但它是一种比较好的数学方法。主要有如下几类问题可以使用特例法来解决。

一、利用特例法解答选择题

有些选择题可以用符合题设条件的某些特殊值代替有关字母;或者用符合题设条件的某个特殊图形代替有关的一般图形进行具体的演算和推理，从而判断各个选择支的正确或错误的方法。特例法是通过找特例来判断错误的选择支，就能肯定正确的选择支的方法， 它必须与排除法一起结合使用。

如果所给的问题比较难，比较抽象，比较复杂，可以通过特例法来解决。利用特殊与一般的思想，将一个较难的问题转化为一个相对较简单的问题来解决。

通过比较，特例法是一种非常好的解答方法。

利用特例法解答选择题需要注意以下几个方面：

注意1：特例一定要满足条件。它只能用来否定选项，而不能用来肯定选项。

注意2：选择特例时要注意特例的类型。同一类型的特例选择的次数不要太多，一般一种类型选择一次。

注意3：特例选择得越复杂，一次成功的概率就越大。但相对的运算或分析就越复杂，要两者兼顾。

注意4：越是难的问题，越划算用特例法。

注意5：如果问题本身就是特殊情形的，不可以使用特例法。

注意6：答案中应该有的元素，在选项中没有，则该选项是错误的。答案中不应该有的元素，在选项中有，则该选项是错误的。

注意7：选项也是问题的条件，在选择特例时，要注意选项之间的关系。

特例法适用题型特点：

如果一个选择题中含有动态的量，这个选择题就可以考虑使用特例法。

如：问题知含有变量、几何图形可以变化等。可从不同的角度来取特例，也可同时取不同的量的特例。

特例法使用情况统计：

在2005年全国Ⅲ文理科高考试卷中有7题选择题可以使用特例法。

在2016年全国新课标理科卷Ⅲ中有第1，5，8，11，12，17题可以使用特例法。

在2018年全国新课标理科卷Ⅲ中有第3，4，5，10，12，15题可以使用特例法。

利用特例法能够准确，快速地解答选择题！虽然不可以解决所有的问题，但利用到它，就能为我们节约大量的时间。特别是越是难的问题，越划算用特例法来解决，因为一个一般性的问题的解决是不容易的，特别在考试时可能是无法解决的，而选择题没有必要去找出一般性解答。

二、利用特例法解答填空题

当题目提供的信息暗示答案确定时，可选取符合题设条件的特例来求解的方法。

在利用特例法解答填空题时，“暗示”的理解比较困难，想到就简便了。

三、利用特例法与解答题

有些解答题可以用符合题设条件的某些特殊值代替有关字母;或者用符合题设条件的某个特殊图形代替有关的一般图形进行具体的演算和推理，来肯定或否定某个结论，可以达到快速解决简答题的相关问题。

3. 检查代数式的化简

当遇到比较复杂的代数式的变形或化简时，可以根据特殊与一般的思想，利用特例来检验其结果的正确性。如果用一组特殊的数值检验某个代数式，变形前后的答案不同，则说明变形过程出现错误，提醒检查变形过程，并及时改正。解决一个问题的方法已经掌握了，若过程或运算出现错误，太不划算了。

在高考试题中，解析几何大题的运算量是比较大的，如果能利用特例法进行验证，避免在运算方面出错，或及时发现错误并改正，也是一种多得分的策略。

4. 檢验结论或答案

在结论是含有动态的量的时候，可利用特例法来检结论或答案是否正确。

如，在利用“错位相减法”求解数列求和问题时，大部分同学的化简或计算会出现问题，如能利用特例法取n=1或2（最好利用在解答过程最好没有用过的数据）来验证，可以保证该题拿到满分。用n=1时检验答案就是错误的，说明解答过程已经出错了。

5.寻找解答问题的方法

当一个一般性的数学问题感觉比较难，无从下手时，可以利用特例法来研究这个问题，再研究在一般情况下是否成立，这就是降格策略。如果是解答题，虽然不能得到满分，但可以得到部分分数。

注意特例法只能用来否定。特例法是解决数学问题的一种重要的方法。