立体几何规则课教学“三化”策略

☉江苏省如东高级中学 郭 伟

立体几何规则课教学“三化”策略

☉江苏省如东高级中学 郭 伟

通常我们把数学中关于公式、定理、法则等内容的课堂教学称为“规则课”，公理、定理、推论贯穿高中立体几何的始终，因此，规则课是立体几何的主要课型，在教学中处于核心地位.众所周知，新课程降低了立体几何严谨“逻辑推理”的教学难度，对其中涉及的定理与推论基本不作严格证明要求，而是要求在加强“几何直观”与“空间观念”的基础上，主张采用“直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质”.在实际教学中，相当数量的教师认为空间观念和几何直观固然重要，但它们只能作为发现命题的一种方式，相比之下，逻辑推理更加容易操作，定理的证明过程还是“唱主角”，立体几何规则课教学又回到了“老路”.若让立体几何的教学承载太多的逻辑推理功能，而忽视空间想象与空间观念的培养，就容易导致学生用“生硬的推理”诠释复杂的空间关系.因此，在立体几何规则课教学中，如何能够凸显新课程理念，并且实现有效教学是摆在我们面前的一道“难题”.下面笔者就以“平面与平面平行的判定定理”为例，谈谈对此的看法.

一、生活化——借助实物道具，提出问题

我们生活在一个空间世界，时时刻刻都被几何现象与模型所包围，大到高楼大厦、公路桥梁，小到橡皮铅笔、螺丝尺具，这些都是实实在在的几何模型，是发现几何直观与空间观念的现成载体.不仅如此，还有很多行业本身就与几何相关，其中传统的木工行业与立体几何联系最紧密.比如，立体几何的三大公理都能在木工活中找到其“影子”，木工通常用一把直尺在桌面上处处置放，以检验桌面是否平整.如果尺上有两点在桌面上，而有其他点不在桌面上，则就说明桌面不平整，否则桌面就是平的，木工利用的就是“公理1”；在装箱子的盖子时，往往用到两块铰链与一把锁，这就体现了“公理2”的思想；在拼接两块木板时，通常在其中一块上开一个“凹槽”，在另一块上造出一个“凸起”，然后两块木板就可以榫合在一起了，这不就是“公理3”的真实写照吗？因此，现实模型是发现几何定理及性质的绝好载体，通过对解决生活中具体问题的思考，从中就可以提出具有价值的数学问题.

师：这是一个同学制作的一条小木凳，你们能否想办法判断它是否平稳？

生：测量一下小木凳的凳腿，看它们的长度是否一样.（根据生活经验，学生很快想到了办法.）

师：需要测量几条凳腿的长度？

生1：四条凳腿.

生2：不对，三条凳腿就够了.

生3：两条好像也可以.

……

（经过学生讨论，最终需要测量三条凳腿长度就行了.）

师：这个问题反映了立体几何中的什么性质，你能把这个问题转化为数学问题吗？

生4：木凳是否平稳取决于凳面与地面是否平行，这个问题可以转化为立体几何中面面平行问题.

师：能否借助凳面与地面平行的方法来判断空间中平面与平面平行.

生5：若一个面中有不共线的三个点到另一个面的距离相等，则这两个平面平行.

师：这个判定方法正确吗？

当学生对空间图形认识不清时，基于错误的空间认识进行推理就会得到错误的结论.借助现实的具体模型不仅有利于促进学生对于空间问题的理解，而且有利于架起学生的生活经验与数学原理联系的桥梁，这充分体现了“数学的学习建立在学生原有的认知的基础上”的建构主义教学理念.

二、公理化——立足知识体系，寻觅线索

立体几何是以公理化的方法构建的逻辑严密的学科体系，是数学逻辑严谨性的明显体现.公理化方法的作用在于，由一组公理作为出发点，以推演规则为工具，把某一范围内（或系统）的真命题推演出来，从而构建出庞大而复杂的理论体系.高中的立体几何教材的设计也体现了公理化的思想.教材开门见山地给出平面的定义，将关于点、线、面之间位置关系的一些基本命题作为公理，然后由公理出发得到一系列定理，再由定理推出更多定理与推论，依次类推……这种“以少搏多，以先前内容推出后续内容”的公理化思想贯穿立体几何的始终，因此，立体几何的各部分内容可以视为公理系统具有相似结构的子系统，各子系统结构的思想方法基本相同.这对于立体几何学习的启示就是梳理回顾前面的知识，发掘蕴藏其中的数学思想与方法，从而为后续教学的有序展开提供有价值的线索.

经过学生讨论，发现这个判定方法不成立，并且举出了反例，如图1所示，当两个平面相交时，在其中一个平面中，同样可以找到不共线的三点（到交线距离相等）到另一个面的距离相等，即便增加“到面的距离相等”的点的个数也无济于事.

图1

师：为什么这种方法对于小木凳有效，而对于平面平行的判定却无效呢？

生：凳面是有限的，而平面却可以无限延伸，你无法知道在无限远处两个平面到底会发生什么.

师：要解决面面平行的判定问题，我们可以回忆一下线面平行的判定原理.

生：利用线线平行来判断线面平行.

师：这其中蕴含着什么数学思想？其实是利用了“降维”的数学思想，把“高维”问题转为“低维”问题.在线面平行的判定中，把维度相对高的“线面平行”转化为维度相对低的“线线”平行来判定.在立体几何中，“降维”思想无处不在.比如，线与线的位置关系往往用“点”来刻画，判断线是否在面内，只需“两个点”在面内；面与面的位置关系往往用“线”来刻画，判断面与面是否相交，只需存在一条“公共直线”就行了.用“点”刻画线，用“线”刻画面，用“一维”来刻画“二维”，用“二维”刻画“三维”……用“低维”刻画“高维”这才是公理化的神奇所在，我们常说的“空间问题平面化”也运用了这个原理.

师：现在你们知道如何判定面面平行了吗？

生：可以通过线面平行来判定.

于是，本节课的探究方向得到明确，定理的获得自然水到渠成.

“公理化”可以揭示一个数学系统或分支的内在规律性，从而使它系统化、逻辑化，不仅有利于学生学习和掌握知识，而且对培养学生的逻辑思维能力具有重要意义.

三、模型化——开展变式教学，内化认知

数学家戈尔丁认为，为了了解周围世界，人们把自己的观点以及思想组织成概念的体系，这种概念体系就是模型，而用数学的语言、方法对各种对象构建出来的模型就是数学模型.模型是把对象实体通过恰当的过滤，用适当的表现规则描绘出的简洁的模仿品，通过这个模仿品，我们可以了解到所要研究实体的本质，并且在形式上更便于人们对实体进行分析和处理.因此，“模型化”是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.对于高中立体几何而言，尽管涉及的空间模型千变万化，但这些模型都可以看作是长方体、正方体、四面体等几个基本模型的“变体”，因此，立体几何学习在很大程度上就归结为对于这几个基本模型中的点、线、面等位置关系的探索，而以基本模型为载体开展变式教学更能够把空间问题的灵活性与复杂性展现得淋漓尽致，从而有助于促进学生知识的内化.

在面面平行判定定理的理解与应用环节中，我们不妨以正方体这个基本模型为载体，设置以下变式问题.

例1如图2，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面AB1D1∥平面C1BD.

图2

图3

变式1：如图3，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分别为AA1，AB，AD的中点.求证：平面PQR∥平面CB1D1.

变式2：如图4，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，M分别是棱A1B1，AA1，B1C1的中点，在此正方体中，是否存在过点E，M且与平面BFD1平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由.

图4

“模型化”的目的就是在已有的几何模型基础上，再创造性地利用这些模型理解与解决更多的几何问题，从而实现思维上的“以不变应万变”.

康德认为，人类的一切知识都是从直观开始.立体几何的教学也应如此，定理的发现、理解、证明与运用，只有在充分感知与理解空间图形关系时才能准确地用逻辑语言表达出来，空间观念的理解和把握是在对周围的环境直接感知的基础上，通过观察、比较、想象、综合、抽象、分析，不断由低到高发展的过程.理性和思维不是空中楼阁、无根之木，它只有在“几何直观”的土壤中才能生根发芽，茁壮成长.立体几何规则课的“三化”策略正是上述理念的具体写照.