一堂从基本图形衍生的中考专题复习课*

2017-03-15 13:06翁海芳仁爱中学浙江宁波315200
中学教研(数学) 2017年3期
关键词:辅助线压轴过点

●翁海芳 (仁爱中学 浙江宁波 315200)

一堂从基本图形衍生的中考专题复习课*

●翁海芳 (仁爱中学 浙江宁波 315200)

通过基本图形,层层推进,最终衍生为中考压轴题,引导学生在不断解决问题、不断收获成功的喜悦中,克服解题障碍,建立解题模型,提高能力素质.文章全程记录了一堂从基本图形衍生的中考专题复习课,课后反响较好.

中考复习课;基本图形;压轴题;衍生;建模

中考数学总复习是初中学生进行系统学习的最后阶段,复习效果将直接影响学生对数学知识的掌握程度.如何把复习课上得既生动活泼又务实高效,是每一位教师都必须深入研究的课题.现将笔者执教的一堂复习课介绍如下,供同行参考.

1 解决问题的3个步骤

第1步 提出问题,提炼基本模型

问题1 如图1,给你一个锐角△ABC和一条直线MN,你能用直线MN去截边BA与CA(或其延长线),使截得的三角形与原三角形相似吗?

图1

学生在解决的过程中,发现直线MN所截的三角形有以下2种类型:

第1种可归结为“A”型(如图2~4所示):

图2 图3 图4

第2种可归结为“X”型(如图5~6所示):

图5 图6

以平行作为基本条件,以图2和图5作为基本图形,作进一步的构造设计.

第2步 设计问题,构造基本模型

图7

问题2 如图7,若D为BC的中点,ED交AC于点F,且FC∶FA=3,求BA∶AE的值.

教师先让学生独立思考,然后让考虑成熟的学生上黑板板演.在课堂巡视中教师发现:除小部分学生不敢尝试添辅助线外,很多学生过点F或点A作平行线,也有一些学生过中点D作平行线.最终学生共想出6种添辅助线的方法,其中过点A,D,F各有2种添法.但没有一个学生想到过点B,E,C也可作辅助线.最后在教师的引导下,归纳总结得出结论:过图7中的每个点都有2种不同的平行线添法(如图8~13所示):

图8 图9

图10 图11

图12 图13

12种不同的辅助线添法相应有12种解答过程,从解题中可以看出,解决此类问题的关键是作平行线,也就是构造图2或图5这2种基本图形.它不一定是一种基本图形的简单运用,更多的是2个或2个以上的A型或X型基本图形的综合运用.学生看着这12种不同的解法不禁感叹:“居然有这么多方法,为什么我一种也想不出呢?”主要原因还是不敢尝试,缺乏面对困难勇于探索的精神.

第3步 拓展提升,强化学生的获得感

将问题2中的基本图形顺时针旋转90°,过2条相交线段的4个顶点作外接圆,再把外面的图形补全为一个直角三角形.学生们惊喜地发现:这正是2015年浙江省宁波市中考压轴题中的图形(如图14).本节课演变至此,学生的获得感和成就感油然而生,许多学生对解决平时望而生畏的中考压轴题更加有信心了.

问题3 如图14,在Rt△OAB中,M是斜边AB的中点,以OM为直径的⊙P分别交线段OA,OB于点C,D,交线段AB于点E,联结DE交OM于点K.若OK∶MK=3,求∠OBA的度数.

图14 图15

方法1 “X”型辅助线

如图15,联结DP,DM,易证DP∥BA,由△DKP≌△EMK,得DK=KE.根据垂径定理得OM⊥DE.

在Rt△DKP中,由DP=2KP,知

∠PDK=30°,

从而

∠DEB=30°,

于是

∠B=∠BOM=∠DEB=30°.

方法2 “X”型辅助线

如图16,联结DM,易证DM∥OA,可得DM∶OA=1∶2.延长DE交OA延长线于点H,联结OE,由△DMK∽△OKH,可证DM∶OH=1∶3,则有DM=AH.由△DME∽△HAE,可证ME=AE.又OE⊥AM,因此OA=OM.

在Rt△ODM中,由DM∶OM=DM∶OA=1∶2,知

∠DOM=30°,

从而

∠OBA=∠DOM=30°.

图16 图17

方法3 “X”型辅助线

如图17,过点M作MH∥BO交DE于点H.由△DKO∽△MKH,得

MH∶DO=MK∶OK=1∶3.

联结DM,易证DM∥OA,又点M是AB的中点,从而BD=DO,于是

MH∶DB=1∶3,

进而

EM∶MB=1∶2,

故点E为AM的中点,以下同方法2.

方法4 “A”型辅助线

如图18,过点K作KH∥OB交AB于点H,联结OE.由△MKH∽△MOB,得

MH∶MB=HK∶BO=1∶4,

易证D为OB的中点,从而

HK∶BD=1∶2.

由△EHK∽△EBD,得

EH∶EB=HK∶BD=1∶2.由以上关系可推得E为AM的中点,以下同方法2.

图18 图19

方法5 “X”型辅助线

如图19,过点O作AB的平行线与ED的延长线交于点H.由△MKE∽△OKH,得

ME∶OH=1∶3,

易证点D为BO的中点.由△BDE≌△ODH,知BE=HO,进一步可得E为AM的中点,以下同方法2.

��2016-10-13;

2016-11-16

翁海芳(1974-),女,浙江宁波人,中学高级教师.研究方向:数学教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)03-40-03

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