绝对值三角不等式的基本模式及其应用*

2017-03-15 13:06周顺钿杭州高级中学浙江杭州310003
中学教研(数学) 2017年3期
关键词:基本模式模式识别定势

●周顺钿 (杭州高级中学 浙江杭州 310003)

绝对值三角不等式的基本模式及其应用*

●周顺钿 (杭州高级中学 浙江杭州 310003)

文章对绝对值三角不等式的基本模式进行解析,并结合近几年浙江省数学高考、学考和竞赛试题,分析了该模式的解题功能,肯定了思维定势正迁移的积极作用.

绝对值三角不等式;2边夹逼;模式识别;思维定势.

静心细思近年来浙江省数学高考、学考和竞赛试题,对绝对值三角不等式这个基本模式的考查频率之高,令人印象深刻.尤其是2016年浙江省数学高考,选择、填空、解答这3种题型的压轴题,都能找到绝对值三角不等式的影子,几乎达到了登峰造极的地步.

1 绝对值三角不等式的基本模式

图1

在△ABC中,由“三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”可得

||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|,

对任意向量a,b,有不等式

||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|

成立,其中:

1)当a,b至少有1个为零向量时,有

|a+b|=|a|+|b|.

2)当a,b均为非零向量时,

①当a,b不共线时,

||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|;

②当a,b共线同向时,

|a+b|=|a|+|b|;

③当a,b共线反向时,

||a|-|b||=|a+b|<|a|+|b|.

评注 以-b替代b,有不等式||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|成立,它也可以由△ABD边的关系得到几何解释.

这就是向量形式下的绝对值三角不等式.特别地,当向量a,b的起点与坐标原点O重合、终点落在x轴上时,上述不等式就转化为实数形式下的绝对值三角不等式:

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.

其中等号成立的条件是:

①|a+b|=|a|+|b|⇔ab≥0;

②|a-b|=|a|+|b|⇔ab≤0;

③|a+b|=|a|-|b|⇔(a+b)b≤0;

④|a-b|=|a|-|b|⇔(a-b)b≥0.

推论 |a-c|≤|a-b|+|b-c|.

推广 |a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|.

一般情况下所讨论的向量空间(如实数空间、复数空间、Rn)都是很特殊的距离空间(线性赋范空间),其中有一个很重要的性质叫做三角不等式,这正是绝对值不等式的一个缩影,这里的绝对值就是一个范数.

绝对值三角不等式是人教版《数学(选修4-5)》“不等式选讲”中的内容,《浙江省高考数学考试大纲》明确要求考生:掌握不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|及其应用,它是数学解题的一个重要模式,也是浙江省数学高考的重要考点之一[1].

2 绝对值三角不等式的模式应用

2.1 基本模式的正用

( )

(2016年4月浙江省数学学考试题第18题)

分析 由题意:总存在x0∈[1,2],使得f(x0)≥m成立,只需m≤f(x)max,x∈[1,2].记f(x)max=h(a,b),对任意的实数a,b,总存在x0∈[1,2],使得f(x0)≥m成立,即m≤h(a,b)min,亦即

m≤(f(x)max)min,其中x∈[1,2].

,当且仅当(2-a-b)+(1-2a-b)=0时,等号成立,因此

评注 对既有存在又有任意的函数问题,常常转化为相应函数的最值问题.

例2 已知函数f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.

1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2;

2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.

(2015年浙江省数学高考理科试题第18题)

M(a,b)= max{|f(-1)|,|f(1)|}≥

图2

而|a|+|b|=t>0在aOb坐标系内表示的图形是以O为中心、对角线与坐标轴重合的正方形(如图2所示),由数形结合可知,当a=±2,b=-1时,|a|+|b|的最大值为3.

当ab≥0时,

|a|+|b|=|a+b|≤3;

当ab<0时,

|a|+|b|=|-a+b|≤3.

故当a=±2,b=-1时,|a|+|b|的最大值为3.

评注 特殊赋值、合理配凑并结合不等式的基本性质,是证明含绝对值不等式的行之有效的方法.

(2016年浙江省数学高考理科试题第15题)

a2+2a·b+b2≤6.

a2-2a·b+b2≤6.

(或从极化恒等式入手

|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)=10,

评注 向量问题的核心是向量的加、减运算及其几何意义,以及数量积的几何意义.本题解法很多,但结合绝对值三角不等式求解,独辟蹊径,呈现了数学的和谐之美.

1)证明:|an|≥2n-1(|a1|-2);

(2016年浙江省数学高考理科试题第20题)

分析 本题是以不等关系给出的递推数列.这是近年来罕见的,许多考生望题生畏,轻言放弃,实在是很可惜.

1)根据绝对值三角不等式,已知条件可以弱化为

即 |an+1|≥2|an|-2.

(1)

如果将式(1)中的不等号改为等号,那么数列{|an|}满足的递推关系就是我们熟知的一阶线性递推式,它可以往“等比、等差”2个方向进行转化.

等比方向:式(1)可进一步转化为

|an+1|-2≥2(|an|-2),

依此传递可得

|an|-2|≥ 2(|an-1|-2)≥22(|an-2|-2)≥…≥

2n-1(|a1|-2),

于是

|an|>|an|-2≥2n-1(|a1|-2).

等差方向:式(1)的2边同除2n+1,得

于是

|an|>2n-1(|a1|-2).

(或用反证法来说明.假设存在n0∈N*,使|an0|>2,则

于是

这与m的任意性矛盾.)

评注 本题有2个转化是很关键的:一是通过绝对值三角不等式将已知不等式弱化,化归为一阶线性递推关系;二是再将弱化的不等式化归为等比或等差累加这2个基本类型.第2)小题证明该数列项的有界性,这在《数学分析》课程里是比较常见的变形技巧,如今出现在2016年的数学高考中,可能又会形成日后新的热点.

3 取等条件的应用

分析 因为

1= sin2x-f(x)+f(x)+cos2x≤

|f(x)-sin2x|+|f(x)+cos2x|≤

所以

评注 “2边夹逼,化不等为相等”是解决本题的关键.

例6 设复数z1=(2-a)+(1-b)i,z2=(3+2a)+(2+3b)i,z3=(3-a)+(3-2b)i,其中a,b∈R.当|z1|+|z2|+|z3|取得最小值时,求3a+4b的值.

分析 观察易得

z1+z2+z3=8+6i,

于是

|z1|+|z2|+|z3|≥|z1+z2+z3|=10.

|z1|+|z2|+|z3|取得最小值当且仅当

解得

从而

3a+4b=12.

(2016年浙江省数学高考理科试题第8题)

分析 本题要确认哪个选项的条件能保证a,b,c是有界的.对于选择题,宜从特例入手,避免小题大做.

取a=b,c=-a2-a,则a的取值范围无界,故不合题意;

则a的取值范围无界,故不合题意;

下面证明选项D是正确的.

根据绝对值三角不等式

1≥|a2+b+c|+|a+b2-c|≥|(a2+b+c)+(a+b2-c)|,

当且仅当(a2+b+c)(a+b2-c)≥0时取到等号,

于是

a2+b+a+b2≤1,即

于是

再由绝对值三角不等式

|c|-|a2+b|≤|a2+b+c|≤1,

|c|≤1+|a2+b|,

同理可得

|c|≤1+|a+b2|,

相加得2|c|≤2+|a2+b|+|a+b2|≤ 2+a2+b2+|a|+|b|.

若ab≥0,则

评注 解决数学问题应该从正确理解概念出发,抓住概念的本质,制定解题的策略.根据绝对值三角不等式,4个选项的条件依次可以弱化为

模式识别是重要的解题思想,绝对值三角不等式是数学解题的一个重要模式.在学习数学的过程中,所积累的知识经验经过加工,会得出有长久保存价值或基本重要性的典型结构与重要类型——模式,将其有意识地记忆下来,并作有目的地简单编码,当遇到一个新问题时,我们辨认它属于哪一类基本模式,联想起一个已经解决的问题,以此为索引,在记忆贮存中提取出相应的方法来加以解决,这就是模式识别的解题策略.

从思维的角度看,模式识别的解题策略体现了思维定势正迁移的积极作用.“遇新思陈,推陈出新”无非是为了在当前问题与头脑中已有的知识、经验之间建立联系,以诱发积极有用的思维定势.专家与普通人在解决问题时之所以会有区别,一个很重要的原因就在于专家能迅速找出贮存在大脑中的模式,作为检索问题解法的索引,从而大大减少搜寻的时间[2].

[1] 人民教育出版社课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书·数学(选修4-5)[M].北京:人民教育出版社,2005.

[2] 罗增儒.数学解题学引论[M].西安:陕西师范大学出版社,1997.

��2016-09-23;

2016-10-25

周顺钿(1965-),男,浙江绍兴人,浙江省特级教师.研究方向:数学教育.

O122.3

A

1003-6407(2017)03-16-05

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