“等弧度三圆共点图”中一个神奇的四点共圆*

●黄新民 (温州市教育教学研究院 浙江温州 325000)

“等弧度三圆共点图”中一个神奇的四点共圆*

●黄新民 (温州市教育教学研究院 浙江温州 325000)

美丽的几何图形往往蕴含着诸多美妙的数学性质.通过构造一个“等弧度三圆共点图”，已经证明其中存在一个美丽的四点共圆，文章将对这个四点共圆作进一步的研究，探索更多奇妙的性质.

等弧度；三圆共点图；四点共圆

美丽的几何图形，往往蕴含着诸多美妙的数学性质，文献[1]给出了“等弧度三圆共点图”的诸多性质，下面是其中一个漂亮的性质：

(注：性质1的证明参见文献[1].)

笔者深入研究性质1中的四点共圆，发现它很神奇，蕴含着诸多奇妙的性质.

图1 图2

为叙述方便，我们先来证明2个结论：

从而

∠1+∠2=∠1+∠3，

即

∠2=∠3.

因为∠4=∠5，所以

∠2+∠5=∠3+∠4，

于是

AB=GH.

又因为∠G=∠3=∠2,所以

△ABD≌△GHD,

故

AD=DG.

图3 图4

1)O2E⊥AC；

2)点E,O2，O1，D，O3共圆.

∠BAC+∠O2AB=

故

O2E⊥AC.

2)联结ED，EC，O1D，联结O1O3交AC于点G，联结AD并延长交⊙O1于点F(如图5).

根据结论1可知D是AF的中点，O1D⊥AF，又O1O3⊥AC，从而点A，O1，D，G共圆，于是

∠DO1G=∠DAC.

由第1)小题可知，EC为直径，O3在EC上，而∠DAC=∠DEC，于是∠DO1G=∠DEC，故点O1，D，O3，E共圆.结合性质1可知，点E，O2，O1，D，O3共圆.

图5 图6

图7 图8

O1P⊥EF，

图9 图10

证明 联结AB，AC，O2E，O3F(如图10).由结论2可知O2E和O3F都经过点A，O2E⊥AC，O3F⊥AB，从而

∠BAC+∠EAF=180°.

关于这个神奇的四点共圆，肯定还有许多性质，有待数学爱好者继续研究(可参考文献[2]和文献[3]).下面笔者再给出2个结论，限于篇幅，其证明不再赘述，留给读者完成.

图11 图12

1)O1是GH的中点；

2)点E,F,G,H共圆.

[1] 黄新民.“等弧度三圆共点图”的几个有趣性质[J].中学教研(数学),2016(8):27-29.

[2] 黄新民，刘臻.一道数学中考题的变式与探究[J].中学教研(数学),2015(10):46-47.

[3] 黄新民.简谈整点多边形的存在性问题[J].中学教研(数学),2012(3):4-5.

��2016-09-26；

2016-10-30

黄新民(1957-)男，浙江温州人，浙江省特级教师.研究方向：数学教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)03-21-03