创设合适路径 促进概念生长——《三角形的认识》教学实践与思考

方 芳

（浙江省台州市仙居县实验小学，浙江台州 317300）

引 言

张奠宙教授认为：“数学的对象是抽象的、形式化的思想材料。”如何让抽象化的概念内化为学生生动的思想材料，需要运用判断、推理、观察等手段，不只是在学生的头脑中建立概念的外在形式，而是对本质属性的理解和认识，从而推进学生思维能力的发展[1]。基于这样的思考，笔者在《三角形的认识》一课中，作了以下的尝试。

《三角形的认识》是人教版小学数学教材四年级下册第五单元“三角形”中的第一课时内容，其主要内容是理解两个定义、形成一项技能：即什么是三角形和三角形的高，并形成画高的技能。

通过第一学段和四年级上册的学习，学生对三角形有了直观的认识，并知道三角形的三个特征，从平面图形中分辨出三角形；认识了线段、垂直后，能从直线外一点画这条直线的垂线；掌握画平行四边形的高的技能。在此基础上，本课安排了三角形定义、认识底和高等教学内容，是以后学习三角形面积计算的基础。学生对于三角形定义，处于能够意会难以言表的状态，用准确的数学语言表达三角形是本课的教学重点之一；学生虽有平行四边形高的基础，但真正意义上正确理解三角形的高并能表达的学生甚少，而准确画高，是本课的难点。

一、概念的形成需要怎样展开才丰满

1.沟通——把特征与定义悄然融合

学生对于什么是三角形，已能够非常直观地感知，即三角形有3个角、3条边、3个顶点，从特征感知概念的表象，怎样让学生真正意义上的理解三角形的概念？

【片段一】

生：有3个角。

师：除了有3个角，它还有什么特征？

生：3条边、3个顶点

判断：下面的图形是三角形吗？（图1）

图1

师：哪些是三角形？哪些不是？为什么？

生：（1）和（4）是三角形，因为它们都有3条边、3个角、3个顶点。

生：（2）和（3）不是，（2）一条边不直，（3）的边是分开的，没有3个角。

师：（3）要怎样才能让它变成三角形呢？

生：线接起来了，有3个顶点，3个角，3条边。

师：线接起来了是什么意思？（一个学生上台边指边说。）

师：书本上是怎么定义三角形的，我们一起来读一读。

师：括号里“相邻线段的端点相连”是对谁的解释？

生：围成。

师：是的，就是你们说的连起来。你能在“由3条线段围成的图形叫三角形”定义中找到三角形的3个特征吗？

生：3条线段就是3条边。

生：围成就是3个顶点、3条边。生：因为只有围成了，才会有3个顶点、3条边。

通过“回忆特征—用特征判断—得出概念—沟通特征与定义”四部曲，在辨正辨伪中让学生体会到：通过化曲为直、首尾相连等的变化得到三角形，进一步清晰概念的本质属性。会用特征辨别，并不是等同于真正地理解三角形的内涵和外延。逐步让学生明白：原来学习的3个角、3条边、3个顶点在定义“由3条线段围成的图形”中也能够找到，只有这样围成了，才能找到3个角、3个顶点。从而把新旧知识有效地架构起来，更好地理解三角形这一概念。

2.求联——让概念体系走向完整

一直在思索，如何置身于大单元的知识体系中去思考三角形一课，让知识体系更完善。

【片段二】

师：今天我们认识了三角形，它是我们平面图形王国中最基本的一个图形。我们看（图2），它其实和很多图形都有连接点，两个完全相同的三角形可以拼成一个……

生：平行四边形。

师：还可以拼成……

生：长方形、正方形。

师：如果是这样呢？你发现了什么？

生：一个三角形的高就是这个平行四边形的高。

师：如果把这个五边形这样切分呢？

生：3个三角形。

师：如果是这样很多很多的小三角形呢？

生：圆。

师：一个接近圆形的平面图形。

图2

三角形是整个平面图形中最基本的一个，如何把三角形与其他图形有效地连接起来。提出：今天我们认识的三角形，它和其他的很多图形是有联系的，看：两个完全一样的三角形可以……一个五边形可以分割成……如果有无数个一样大的小三角形，就可以……有效地让三角形置身于其他图形中，让整个知识体系得到完善。充分利用新旧知识之间的内在联系，从知识的逻辑顺序中引导学生发现三角形和学生已学的平行四边形之间的联系，引导学生由“两个一模一样的三角形拼成了一个平行四边形”逆向思考，发现了此时三角形的高就是平行四边形的高，使每一个学生发现所学新知是旧知的扩充与发展，为后续学习三角形的面积打下了坚实的基础。再用切分的方法将多边形分割成若干个三角形，来揭示三角形是多边形中最基本的一种，就在这样的新旧知识的转化中，达到新知不新的教学效果，转出了新的深度。

二、准确画高需要怎样的支点才能落地生根

三角形画高其难度来自于三角形的形状、放置的位置等。本节课对于画高，主要通过这样三个层次推进：尝试画高—掌握方法—形成技能。

1.尝试——在自主画高中掌握方法

活动：画出指定底上的高（图3）。

画后，请学生评价你认为谁画的最好？学生分别从有没有垂直线段，有没有虚线和标直角符号等进行评价，从而得出画高的方法和注意点。

图3

2.厘清——在变式画高中掌握技巧

活动：画指定底上的高。（图4）

图4

针对直角三角形的三种情况：

图5

师：你认为哪一种对

大部分同学赞同第2种。

师：他没有画，为什么就说他画对了？

生：因为用三角尺推过去，下面已经是直角了。

生：直角三角形的两条直角边都是垂线，就都是高。

师：他说的是什么意思？

生：指着底，上面的直角边是下面这条底的高，如果以这条为底，那么另一条直角边就是它的高。

师：要判断自己是否画对了……

生：从顶点到底的垂直线段。

师：这个方法好，那第3位同学画的是高吗？

生：也是的，但是是以上面这条边为底。

师：仔细观察直角三角形的3条高，你有什么发现？

生：三条高都交于直角边的交叉点上……

师：你发现锐角三角形呢？

生……

从学生的回答中，已然明白直角边就是底上的高。通过观察和找，明白原来直角三角形的有两条高，不用三角尺去画。

3.画形——形成画高的技能

在一组距离是2厘米的平行线中画一个底是3厘米高是2厘米的三角形（图6）。

图6

师：你有什么发现？

生：只要在上面这条线上，任意的一点都可以。

生：高可以画到三角形外面的。

师：你觉得今天的画高是一个新知识吗？

生：不是，不是，画三角形的高和画垂线一样的。

生：和画平行四边形、画梯形的高是一样的……

通过三次画高，从“尝试画”——总结方法，到“会画”——掌握方法，再到“巧画”——形成技巧。既突出教学重点，突破教学难点；同时，让学生多次画高熟练画高技能，又进一步加深了对三角形的高和一个三角形有三条高的理解。在操作、观察、辨析、修改让学生逐步清晰、掌握画高的技巧，从而形成技能。延长一边画高是画高这一难点中难中之难，所以课堂中，安排了平行线上画三角形的活动，以分散难点。学生更是惊喜连连，无形当中把画三角形的高与垂线和平行四边形的高连起来。

结 语

概念是抽象的、形式化的，从学生的认知基础出发，在概念的初步形成阶段，充分让学生经历抽取出概念的共同的本质属性的过程，这样概念才能真正成为学生的思想材料，悄然无声地生长，从而促进学生的思维成长。

[1]吴静君.有效课堂:尊重教材,基于学生——“三角形的认识”两次磨课的过程与思考[J].小学数学教育,2015,(10):35-37.