“隐形圆”问题带来的思考——从高三一轮复习“直线与圆的综合问题”教学案例说起

张翼飞

（江苏省南京市第九中学，江苏南京 210018）

引 言

解析几何是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支，各地高考对平面解析几何也是青睐有加。受到传统试题的影响，学生常常认为平面解析几何就是几何问题代数化，更多地将“形”单向变成“数”，一味依靠函数方程运算。江苏省2013年高考第17题和2016年第18题两次“变数于形”，引领教师们在教学中也逐渐关注这一个方面，寻找“数”背后的“隐形”图形。

一、课前小练

一轮复习中，笔者以“直线与圆的综合问题”为题，带领学生对此类问题进行了深入的研究。

（投影）课前小练：

(3)如果圆(x-a)2＋(y-a+2)2＝1上恰有两个点在圆x2+(y-1)2＝4上，则实数a的取值范围是______.

学生利用课前五分钟先行完成，并反馈答案。

师：我们顺便回顾一下：直线和圆有哪些位置关系呢？圆与圆呢？

生：直线和圆有相离、相切、相交；圆与圆有外离、外切、相交、内切、内含。

师：如何判断它们的位置关系呢？

生：可以用几何法，直线与圆比较d和r，圆与圆比较圆心距和两个半径的关系；也可以用解析法联立两个函数关系式判断解的个数。

【点睛】三道小题难度都不大，设计上关注到直线与圆和圆与圆两类问题，目的是让学生易于上手，快速进入状态。除此以外更为重要的是这三道题为后面的例题与变式的设计埋下了伏笔。

师：说得很好，那么下面这一道变式又如何解决呢？

变式：如果圆(x-a)2+(y-a+2)2＝1上恰有两个点到（0，1）的距离为2，则实数a的取值范围是______.

师：什么叫“恰有两个点到（0，1）的距离为2”呢？

生：到（0，1）的距离为2的点都在圆x2+（y-1）2＝4上，所以就是说前一个圆有两个点在后一个圆上。

师：什么是“前一个圆有两个点在后一个圆上”？

生：就是两圆相交。

随即学生发现这就是刚才的第三题。

【点睛】这个问题设计得很简单，“隐藏”圆的手法也很低级，即借助了圆的定义。这个问题的设置承上启下，为本堂课主要的教学意图拉开了大幕。

二、投影题

我们接触的大部分问题都不会像课前小练一样那么“直白”。下面我们一起看投影。

师：那么你看到了什么？

生：我看到了一个圆，阿波罗尼斯圆。

师：（故作不明白地问）什么是阿波罗尼斯圆？这里的哪个圆是阿波罗尼斯圆呢？

生：到平面上两点A、B距离之比为定值k的点的轨迹是一个圆，称为阿波罗尼斯圆，其中k>0且k≠1，x2＋y2＝4就是求出来的阿波罗尼斯圆。

师：很准确！那么什么叫直线上存在点符合圆呢？

生：就是直线和圆有交点！

【点睛】从数中探寻形的存在，并且借助形的性质进行解题是本节课的教学目标。笔者选择其作为例1是因为阿波罗尼斯圆是学生相对熟悉的内容，学生易于想到它的背后“隐藏”着圆，比较自然地“从数至形”，打开思维的突破口。

师：下面请大家完成两个变式。

变式1 已知点A(2，3)，点B(6，-3)，点P在直线3x-4y+3＝0上，若满足等式的点P有两个，则实数λ的取值范围是______.

变式2 已知圆C：(x-a)2+(y-a+2)2=1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足MA2+MO2=10，则实数a的取值范围是______.

（五分钟后）

师：谈一谈变式1你是如何思考的？

师：它一定是个圆吗？

生：（片刻思考）如果不是圆，上面就不可能有两个点满足条件了。所以13-2λ>0，满足条件的点有两个，所以圆和圆相交，借助圆心距和半径的关系就可以了。我算出来λ<2.

师：考虑得很周全，而且发现了关系式背后的“形”——是个圆。那变式2呢，你看到了什么？

生：我也看到了一个圆。设 M（x，y），由MA2+MO2=10，可得x2+y2-2y-3=0，它就是一个圆，即x2+(y-1)2=4，M存在于两个圆上，就是说两个圆有公共点，下面就类似课前小练的第三题了。

【点睛】两道题的设计涵盖了直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系，在例1的影响下，学生能够自然地进行数与形的转化，在实践中提升了学生的分析转化能力。另外两题均借助了课前小练后两道题的数据，把学生从繁杂的计算中解脱出来，重点突出思维能力的培养，提升了课堂效率。

师：解析几何的解决过程就是将几何代数化的过程，但在这过程中所衍生出的关系式背后也都有一个“形”的存在，有些“形”我们很熟悉，比如刚才三道题中都不约而同地指向“圆”，那么我们借助图形性质就很易于解决问题，这些圆隐藏在关系中，我们就是要去发现它、运用好它[1]！下面请看例2。

（约十分钟后）

师：前面的例题中存在一个点，我们对一个点进行题设；本题存在两个点P和Q，我们来看看这位同学是怎么处理的？（投影一位同学的步骤）

生：我 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2),因 为 A(2，4),T（t，0），，所以

结 语

数学的本质是研究对象与对象间的关系，有时候对象很明显，但更多的时候研究对象是被各类关系“隐藏”起来的。这节课是让学生感受解析几何的本质——“形”与“数”之间的双向转化，从而促进学生对解析几何更深入的理解。作为一节高三一轮复习的常态课，我们不可能在课堂上带领学生阅遍所有类型的问题。然而只要抓住教学目标的本质，让学生充分体验和感受，课堂的有效性便已“润物细无声”了。

[1]张亚东.数学课堂教学设计案例点睛[M].上海:上海教育出版社,2017:256.