“再探幂的运算”教学设计

【摘 要】“生长数学”倡导要让学生学到具有生长力的数学。让数学学习活动为学生生命成长助力，让数学教学活动在促进学生生命成长的进程中发挥正能量。“再探幂的运算”课例以生长数学教学主张为核心，以“再探幂的运算”为教学载体，自然引入控制變量法来探究幂的六种运算。教学活动始终坚持建数学结构、展思维过程、教探究方法，让学生体验数学生长的过程，感悟生命成长的真谛。

【关键词】幂的运算；教学设计；控制变量；生长数学

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）11-0029-04

【作者简介】卜以楼，南京市宁海中学分校（南京，210036）教师，正高级教师，江苏省特级教师。

在2016年江苏省“教海探航”征文竞赛颁奖活动中，笔者执教了一节“再探幂的运算”的展示课，以下是对这一教学内容的价值判断、行为改进及活动设计的探索和思考。

一、基于教学内容的价值分析

幂的运算性质包括：同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方等学习内容。它通常被安排在整式乘法的前面，但不同版本的教材会依据其教材的编写体系被安排在不同的章节之中。例如，人教版教材，将之安排在八年级上册“第十四章整式的乘法与因式分解”这一章中；北师大版教材，将它安排在七年级下册“第一章整式的乘除”这一章中；浙教版教材，将它安排在七年级下册“第三章整式的乘除”这一章中；上科版教材，将之安排在七年级下册“第三章整式的乘法与因式分解”一章中；而苏科版教材，则将这一教学内容单独成章，安排在七年级下册“第八章幂的运算”中。将它与整式的乘除以及因式分解混排，是想突出其内容的基础性和工具性；将之单独成章，则是体现其在运算中的重要性和自洽性。这种各具特色的编排价值已被教师开发得淋漓尽致。那么，“幂的运算”这一教学内容，它还具有怎样的教学价值呢？

1.让幂的运算性质在运算结构中必然生长。

各个教材中只安排了am·an=am+n、am÷an=am-n、（ab）n=anbn、（am）n=amn这四种幂的运算性质，而这四种运算性质还不足以说明对“幂”这种特殊的对象作了运算，至少说还没有对幂作全面的运算。至于为什么只研究这四种运算，学生更是雾里看花，懵懵懂懂，知其然而不知其所以然。这个问题的形成，是由幂的运算在整个运算体系中的地位和作用所决定的。因为有了这四种幂的运算性质，在“数与式的运算”这个大结构中就够用了，不需要再研究幂的其他运算了。

如果我们不囿于上述实用性的限制，从“幂的运算”这个角度上去看待问题、研究问题、解决问题，那么在七年级下学期时，就要研究幂的加法、减法、乘法、除法和乘方这五种运算，在八年级上学期时，如果学过开方运算，除了要研究上述五种运算外，还要研究幂的第六种运算——开方运算。至于到九年级，就更有必要研究幂的加、减、乘、除、乘方、开方运算了。为此，在这次展示活动，笔者选择了“再探幂的运算”这一教学内容，就是基于“运算”这个大系统对幂的运算作一个全面的研究，让幂的运算在数与式的运算结构下自然地生长并和数与式的运算自洽。

2.让学生的真实思维在探究活动中自然发展。

数学教学的价值在于发展学生的思维。学生的思维是指学生的真实思维，不是教师强加给学生的思维。学生的真实思维在探究活动中发展了，学生的学习才算是真正发生，否则训练与发展学生的思维能力将成为一句空话。当然，学生的思维需要教师的引领和激发，这种引领和激发，不是教师告诉学生应该做什么、怎样做，而是教师要营造一种“思维场”，让学生在这种“思维场”中，自主地、自发地形成“思维流”。这种“思维流”不是盲目的、漫无边际的，而是明确的、有具体指向的，能够直面问题、自发地产生解决问题策略或方法。这种策略方法是基于过去学习过程中的经验，又不完全是以往经验的简单提取，而是在传承中有那么一些创新和发展，学生在这种探究活动中，有那么一点冲动产生的愉悦与快感。在这种“思维场”中产生“思维流”，学生的思维才算是自然地发展、真正地生长，这就是数学教学给予学生生命成长的正能量，也是数学教育人应该追求的教育情怀。

回归到幂的运算这一教学内容，笔者选择了九年级学生作为探究活动的主体，一是让幂这个特殊对象能够在实数系中全面实施加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算；二是此时的九年级学生具备了探究幂的六种运算的基础知识与基本的活动经验；三是此时让幂的开方运算与其他已研究过的五种运算同时登台，不仅可以开阔学生的运算视野，而且可以使教学效率最大化，因为它符合最近发展区原理，学生还能在此探究过程中体会前后一致、逻辑连贯、一以贯之的生长方略。正因为此，笔者把本节课的教学内容定位为“再探幂的运算”，以表示与以往学习的幂的运算的区别。“再探”的含义，就是让学生用结构的观点，让课本中的四个运算性质，上通幂的加减法，下达开方运算，让学生在一个适宜的结构中生长、在一个完整的体系中成长。

所要注意的是，幂的开方运算，《义务教育数学课程标准（2011年版）》没作要求，所以对于学生来说，这是一个全新的认知过程。因此，探究活动要放慢节奏，静待花开。

3.让控制变量法在策略把握中应然产生。

通过上述的价值判断，我们基本上确定了幂的运算的生长空间。生长空间确定以后，选择什么样的方法来探究幂的运算就成了关键的要素。由于任何一个幂am，要受底数a与指数m这两个变量的影响，所以，幂的运算势必也要受到这两个因素的影响。如何研究受多因素影响的问题，控制变量法就自然成了本探究活动的应然选择。

控制变量法，学生在初二物理、生物及初三物理、化学中都有过接触，但那仅限于这三门学科。把这种方法运用到数学探究中，《义务教育数学课程标准（2011年版）》没有要求，各种版本的教材中也没有体现，各种资料及网络资源也不多见。可以认为，把它运用在数学上解决问题，对于大部分学生还是第一次。笔者在这里将之用来探究幂的运算主要是基于下面三个方面的思考。

一是控制变量法既是一种方法，也是一种方法论。它是研究受多因素影响问题的通性通法，并在其他学科中显示出强大的生命力，已成为研究该类问题的一般科学素养。从这个意义上说，数学学科也没必要受课程标准、教材的约束，而要从学生终身素养的角度上去提高认识，以发挥控制变量法的正能量。

二是将控制变量迁移到数学学习中，可提高学生学习科学方法的兴趣，也能提高学生学习数学的兴趣。当学生认识到这种方法在学习数学上会产生与其他学科一样的特效时，体会到数学在某种程度上与物理、化学、生物等学科是“一伙的”时，顿失对数学的畏惧，转之会对数学产生一种亲近感。

三是将控制变量法运用进来，又不仅仅局限于这一个探究活动中，还有很多的数学探究活动会用到。这样，这种方法就会在数学学科中播下种子，扎下根，发生芽，长成树，结出果，并将形成一种素养，伴随学生终生。

二、基于价值分析的行为改进

基于上述的价值分析，结合笔者生长数学的教学主张，教师的教学行为要作以下三个方面的改进。

1.在结构上做文章，以实施整体地教。

价值分析告诉我们，这是个高水平下的结构教学。本节课的教学要促进学生从整体上把握数学知识、方法和观念，增强学生学习数学的整体意识和结构意识。只有这样，才能使学生把已掌握的知识和经验提高到简洁的原理性结构上去，从而有效抵制碎片化知识的不良倾向。为此，教师要在问题的方向性上多做文章，教学中要先提大问题，再提小问题，让学生从运算的结构上把握探究的方法。

2.在探究上下功夫，以实施有序地教。

价值分析还告诉我们，这是个高立意下的探究教学。探究性教学就是要让学生对教学内容进行自主学习、深入探究，并进行小组合作交流，从而激发学生探究欲望，培养学生的探究素养。探究贵在让学生自主，辅之以必要的帮与扶。为此，教师要理解学生思维的方向与层次，把握学生思维的困难与疑惑。在探究过程中，真正做到既不错位，也不失位，让帮扶有序、有度、有效。

3.在生长上花气力，以实施本真地教。

价值分析又告诉我们，这是个高观点下的过程教学。“再探幂的运算”过程是一个建立在逐级运算基础上自然生长的过程，它与学生成长的过程相似，是一个由内向外生命迸发数学力量的过程。它也是学生逐步领悟数学思想方法、体验控制变量魅力、感受数学思维的美妙、养成良好学习习惯、培养创新实践能力的过程。在这一过程中，教师要有静气，要让本真的气息自然地润泽到探究过程之中、思维过程之中、感悟过程之中，以此让学生体悟数学生长的意义，感悟生命成长的境界。

三、基于行为改进的教学活动

基于上述教学价值的分析和教学行为的定位，结合教学内容内在意蕴的特质，可建构如下教学活动来再探幂的运算。

活动1：同学们，我们在八年级上册学习了“幂的运算”（教师板书：幂的运算），从“幂的运算”这个课题上看，要研究什么问题？研究的对象是什么？研究的内容又是什么？

【设计意图】从人教版八年级学过的“幂的运算”这个熟悉的内容引入课题，并通过问题追问的形式，引发学生从运算结构上作新的思考，而不仅是重复以前学习过的几个幂的运算性质。

【生成效果】学生通过审题都能明白，幂的运算就是要研究幂的加法、减法、乘法、除法、乘方、开方这六种运算。

活动2：怎样进行幂的加法运算？

【设计意图】一是让学生将幂的加法形式化为am+bn=？便于研究；二是如何研究am+bn=？，这需要一定的研究智慧。由于任何一个幂都受底数与指数这两个变量影响，所以它是一个多变量问题，因此可用控制变量的方法来研究。

【生成效果】学生此时都可以认识到：可以控制am与bn这两个幂的底数一样，那么am+bn=？就变成了am+an=？的问题，这个问题还是不能直接计算；再控制am与bn这两个幂的指数一样，那么am+bn=？就变成了am+bm=？的问题，这个问题也不能直接计算；最后控制am与bn这两个幂的底数、指数都一样，那么am+bn=？就变成了am+am=？的问题，这个问题也就是一个合并同类项的问题，至此结束幂的加法研究。

活动3：怎样进行幂的减法运算？

【设计意图】让学生根据减法是加法的逆运算来研究幂的减法。

【生成效果】在实际教学中，上述设计意图学生不能领会。他们还是用控制变量的方法将减法重新研究一遍。此时，可追问学生：用这种方法研究幂的减法还有创新的成分吗？如果没有，你还有其他的方法来研究它吗？引导学生用逆运算来解决问题。

活动4：怎样进行幂的乘法运算？

【设计意图】让学生仍用控制变量的方法来研究。

【生成效果】如果控制am与bn这两个幂的底数一样，那么am·bn=？就变成了am·an=？的问题，这个问题就是过去研究过的同底数幂相乘的性质，即am·am=am+m。

如果控制am与bn这两个幂的指数一样，那么可得“an·bn=（ab）n”，即得（ab）n=anbn，这就是积的乘方的性质。

如果控制am与bn这两个幂的底数、指数都一样，那么am·bn=？就变成了am·am=am+m=a2m，或变成了am·am=（am）2=a2m的问题，这就是幂的乘方的特殊情况了。

让学生在此与am·an=am+n、（ab）n=anbn相逢，学生的思维体验必有另一番滋味！

活動5：怎样进行幂的除法运算？

【设计意图】同问题3的设计意图，主要从逆运算中去研究问题。

【生成效果】由于在问题3中矫正了研究减法的思路，所以，这时学生都能用逆运算来研究幂的除法了。

当控制底数相同时，即am÷an=？，就是要使得（？）·an=am，显然am÷an=am-n，这就可得同底数除法的性质。

当控制指数相同时，am÷bm=

m，这与积的乘方性质一脉相承。

至于控制底数、指数都相同时，就是一个最简单的除法运算，在这里就没有什么特别研究的价值了。

活动6：怎样进行幂的乘方运算？

【设计意图】主要解决（am）n=？的问题，即研究（am）n=amn。

【生成效果】上课时这个问题对学生已毫无障碍了。

活动7：怎样进行幂的开方运算？

【设计意图】传承用逆运算研究的经验来解决一个全新的问题，发展迁移能力。主要解决=？的问题。

【生成效果】解决=？的问题，就是要解决（？）2·=am，则有=a；同理=a；……=a。

活动8：今天我们用什么方法进行了“再探幂的运算”之旅的？（板书：在“幂的运算”前面加上“再探”二字，以揭示本课的“再探索幂的运算”这个核心课题）你有什么收获？

【设计意图】回顾探究之旅，体会控制变量之妙。

【生成效果】学生都能感悟到控制变量在数学上的绝妙之笔，既为控制变量法打开了另一条通道，也为研究一个课题提供了范式。

活动9：例题选讲。

例1.如果a3a-1=1，求a的值。

例2.如果2m=n2（m、n为正整数）。

（1）请找出一对满足条件的m、n的值；

（2）满足条件的m、n的值有多少对？为什么？

例3.如果2m=8m-6，求m的值。

【设计意图】将控制变量法迁移到具体数学题的解题上来，让学生有较强的获得感。

【生成效果】学生已能大胆尝试控制变量的方法，为解数学题又打开了一条通道。

注：本课例设计得到南京市雨花区教师进修学校刘春书老师的帮助，特表鸣谢。

【参考文献】

卜以楼.让复习课留下一串串生长节——“幂的运算”的小结与思考教学实录与反思[J].中学数学月刊，2011（11）.