王丽琴
(常州市武进区星辰实验学校,江苏常州 213161)
学生数学思维习惯培养的实践研究
王丽琴
(常州市武进区星辰实验学校,江苏常州 213161)
思维是人脑对客观事物的概括和间接的反应过程。根据思维的不同分类,在初中数学教学中,可分发散思维、逆向思维、探究思维等。本文结合教学实际,提出从一题多变、一题多解、一题多法等训练学生的发散思维,从定理应用、逆推法训练、解题运算等培养学生的逆向思维,从预设陷阱、生活情境、课堂意外等激发学生的探究思维,培养学生养成思维的习惯。
数学思维;习惯培养
思维是人脑对客观事物的概括和间接反应过程。通过思维,可探索与发现事物的本质联系和规律性。现代教育理论认为,教学过程就是思维活动过程。学生成长快与慢,不仅取决于智商高低,还取决于思维方式掌握,更取决于思维训练多少。如何在数学教学中养成学生思维的习惯,提升思维能力,是一个重要课题。本文结合教学实际,就发散思维、逆向思维、探究思维培养如何养成学生思维习惯做了一点探索。
利用发散思维,让学生养成从一个点入手,利用知识和观念重新组合的习惯,促进更快更好寻找到答案。
通过增加限制、引申发展、隐去结论、减少条件、逆向改编等,增加不定因素,让学生联想、探索,在趣味、好奇中探索问题,拓展学生思维。
在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD交于O,过点O作EF∥BC,分别交AD、DC于E、F,求证:OE=OF。
从拓展学生思维的角度出发,演变成两种类型,一是在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD交于O,EF∥BC,EF分别交AB、BD、AC、DC于E、G、H、F。求证:EH=GF。二是在梯形ABCD中,AD∥BC,BA、CD的延长线相交于P,对角线AC、BD相交于G,PG及其延长线交AD、BC于H、M。求证:BM=MC。
经过变形、重组、分解和组合,涉及梯形、平行线、三角形等方面,深化学生思维,加强知识点之间的纵向联系,巩固老知识、掌握新知识,提升学生思维应变能力。
从不同的角度,对已知条件进行分析判断,重新整合,开阔学生解题思路,让学生学会融会贯通。
例:已知x2+x-1=0,求2x3+4x2+3的值。
解法1:解方程x2+x-1=0,求得x的值代入2x3+4x2+3,得5。解法2:因x2+x-1=0,所以x2+x=1,则2x3+4x2+3=2x(x2+x)+2(x2+x)-2x+3=2x+2-2x+3=5。解法3:因x2+x-1=0,则 2x3+4x2+3=(x2+x-1)(2x+2)+5=5。
三种解法,一种比一种简单,一种比一种深入。第一种解法费时费力,会超时失分、运算错误。第二种解法利用降次,减少运算,正确率较高。第三种解法抓住x2+x-1=0这个关键,借助多项式除法,利用x2+x-1=0进行零值代换,过程简化,方式巧妙。
针对一个教学内容,用不同的方法,让学生从不同的方面思考,加深认识。在学习《三角形内角和180°》时,用四种方法:一是测量法:量出三角形三个角的度数,三角相加得出三角形的内角和180°;二是剪拼法:剪下三角形三个角,拼成一个平角,得出三角形的内角和180°;三是推算法:将长方形沿对角剪开,得到两个完全一样的三角形,长方形四个角内角和360°,得出三角形的内角和360°的一半180°;四是构筑平行线:过三角形顶点作底边的平行线,用两直线平行,同旁内角互来证明三角形内角和是180°。
这四种方法,从简单到复杂,从直观到分析,适合不同层次的学生,引导学生养成从不同层面考虑同一个问题的思维习惯。
几何图形的很多性质与判定定理互为逆命题。在勾股定理和它的逆定理学习中,利用逆向思维,应用正、逆定理,可使学生正确把握题设与结论。
四边形ABCD中,AB、BC、CD、AD的长分别为13、3、4和12,∠BCD=90°。求四边形ABCD的面积。通过已知条件,连结BD,得△BDC为直角三角形,用勾股定理,求出BD的长;在△ABD中,用勾股定理的逆定理,判定△ABD为Rt三角形,利用Rt三角形面积公式,得出Rt△BDC、Rt△ABD面积和为四边形ABCD的面积。让学生切实感受到正向和逆向的两种思维过程。
很多问题从正面思考很难解决。俗话说,此路不通走彼路。“正”难则“逆”,从反入手。反证法和逆推法等两种方法体现出逆向思维。
求作一个方程使它的根是-3和4。按照正常思路思考,很难走通。可结合因式分解法解一元二次方程知识,引导学习利用逆推的方法,利用十字交叉法解一元二次方程,构造出方程(x+3)(x-4)=0,展开后得x2-x-12=0,它的根就是-3和4。可引导学习改变思维习惯,在山重水复疑无路的情况下,达到柳暗花明又一村的境地。
乘方和开方、多项式乘法和因式分解等基本运算都可互逆。
首先围绕知识点预设陷阱引导学生探究。在错误中发现真理,能有效地提升学生的素质。在容易出错的环节中设置“陷阱”,由“出错、思考、走出”,巩固基础知识,防止错误再现。
在Rt△ABC中,a、b、c为∠A、∠B、∠C所对的边,a=6,b=8,求c的值?学生落入预设“陷阱”,得出c=5。分组讨论:“题目没有说c是斜边”,引起大家共鸣。几分钟后,一位学生答:“c应该是10或是2”。“2个答案呀?”“如c是斜边,则c=10,如c不是斜边,则斜边是b或者a,而a不可能为斜边,则b为斜边时,c=2。”一问一答,学生更加清楚勾股定理的内涵。
其次,利用生活情境引发问题引导学生探究。数学源于生活,用与学生日常生活相关、与学生兴趣相吻合的情境,更能引发学生的关注,激起学生的探究思维。
在《探索规律》教学时,挂出了一张日历。问:“知道《射雕英雄传》吗?知道黄蓉如何赢英姑吗?我们做一个游戏,谁愿意到黑板前,用3×3的小框选取9个数,告诉老师第一个数,老师马上能报出那9个数的和。”学生们反应热烈,积极要求上台。“老师不仅得出这9个数的和,还得出横、竖、斜列三个数的和,你们知道为什么?”学生们的兴趣浓了,求知若渴。顺水推舟:探索规律问题这一主题。编制一些生动的、有趣味的、学生乐于接受的生活情境,可将具体的抽象的数学概念与生活生产紧密联系起来,引导学生开展探究。
良好的思维习惯可以使学生插上放飞的翅膀。教师要充分利用一切可供想象的空间,在模糊到清晰、具体到抽象、直觉到逻辑的思维过程中,不断锤炼学生的发散思维、逆向思维、探究思维,培养学生的创造力和想象力。
[1]卢小红.初中生数学思维能力培养研究[D].华中师范大学,2016.
[2]张欣.中学数学思维培养的分析与探究[D].海南师范大学,2016.
王丽琴,1974年生,女,江苏人,任职于常州市武进星辰实验学校,中学高级教师。有40多篇论文在省级以上获奖:其中五四杯、师陶杯、杏坛杯、金帆杯、蓝天杯等省一等奖11篇。2016年在江苏省蓝天杯会课比赛中获二等奖;在全国高效课堂教学大赛中获一等奖。