《角的平分线的性质》教学反思与再设计——追求“逻辑连贯、自然生成”的几何命题教学

刘晓丹 陈少毅

（1.福建省福安市城北中学，福建福安 355000；2.福建省宁德市教师进修学院，福建宁德 352100）

下面我以人教版《角的平分线的性质》的教学为例，谈谈我对几何命题教学的一些体会。

1 人教版《角的平分线的性质》教学安排与反思

1.1 人教版《角的平分线的性质》教学安排

（1）探究角平分仪的原理。

思考：如图1是一个平分角的仪器，其中AB=AD,B C=B D,将A点放角的顶点，A B和A D沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE,则AE就是∠BAD的平分线，你能说明它的道理吗？

（2）提炼尺规作角平分线的画法。

（3）探究角平分线的性质。

如图2，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E。测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？再在OC上取几个点试试。

通过以上测量，你发现了角平分线的什么性质?

（4）证明定理，归纳提升。

将文字命题转化为符号命题并证明，再总结文字命题证明的一般步骤。

1.2 基于教材安排的教学反思

图1 平分角仪器

图2 角∠AOB

作为人教版初中数学教材几何命题完整证明的起始课，《角的平分线的性质》安排在八年级上册《全等三角形》中，其教学目标是能用尺规作一个角的平分线，探索并证明角平分线的性质定理。为了完成教学目标，教材从测角仪入手，通过问题激发学生的探索新知的兴趣，再创设情境组织开展探究性活动，让学生在动手实践和理性思辨中总结尺规作角平分线的方法与角平分线的性质，符合新课程下命题教学的基本要求。尤其是在定理探索环节，教材能充分让学生经历实践→猜想→归纳→验证→证明的过程，有利于引导学生将直观体验上升到理性思维，活动设计符合学生的认知规律，较好地完成了教学目标。但值得探讨的是，本课中的两项主要探究活动，都是在教师安排下的学生“验证性活动”，其结论并非真正由学生在探究活动中产生。如角平分线作法的提炼只是所给“平分角的仪器”条件的直接转化，没有太多的思维含量；又如角平分线的性质的探究，教师直接引导学生关注角平分线上的点到两边的距离，这种过于明显的提示，局限了学生思维方向，不利于创新意识的形成[1]。

图3 ∠AOB

人教社章建跃先生提倡要让学生经历逻辑连贯的学习过程，我想角平分线作法与性质的提炼，也应是逻辑连贯的探究活动，自然生成的方法与性质总结。如何上好这节命题教学起始课呢？我认为应关注以下三个问题：

（1）对于初中几何命题教学的定位，课标的要求是“探索并证明”。即让学生独立或与他人合作参与观察、实验、猜测、归纳、验证等数学活动过程，发现并归纳几何图形的性质，或提出解决几何问题的思路。在此基础上，再利用已有的几何知识加以证明，使感性认识得到理性的升华。如何通过角平分线定理的教学，形成一种几何命题教与学的范式，为今后教学线段垂直平分线、特殊四边形性质等做好教法上的引领，值得我们在设计教学的过程中加以研究。

（2）几何探究活动中的问题，应在学生知识经验的“最近发展区”设置，并适度控制思维的容量，以激发学生的探究欲望。对于角平分线作法的探究，学生已有“角平分线概念”、“三角形全等性质”等知识基础，并积累了用尺规作角与线段的操作经验，如果只是简单地模仿“平分角的仪器”提炼作法，既没有太大的探究价值，也无益于创新思维能力的培养。如何引导学生自我构建全等三角形，寻找作图方案，但又不导致无从入手，望题生畏，应是教师在备课中考虑的重点。

（3）几何探究活动应是基于学生原有认知上的自然生长，而不是建立在教师“先知先见”基础上的着意安排。角平分线定理的探究，其难点不是定理本身的证明，也不在于从特殊到一般的验证与归纳，而是对为什么选择研究“平分线上的点到两边距离”的疑惑。教学中如何帮助学生认识垂线段的意义，对后续学生能自觉利用定理解决问题起着至关重要的作用。

2 《角的平分线的性质》教学的再设计

基于上述对教材的角平分线作图与定理的教学的反思，我重新设计了《角的平分线的性质》教学过程。新的教学设计试图达到以下目的：（1）形成一种尺规作图教学模式，让学生从原理出发探求作图的方法与步骤；（2）整合两个探究活动之间的关系，让学生体会尺规做角平分线在角平分线定理探究中的铺垫、启发作用；（3）指导学生在操作中发现角平分线上的点到两边垂线段的作用与性质[2]。

在上述观察视角下，新设计的教学过程分为复习引入、抛出问题，设计方案、总结画法，引导发现、验证定理，巩固新知、拓展提升四个环节。

2.1 复习引入、抛出问题

提问：

（1）什么是角的平分线？若OC是∠AOB的平分线，请用符号表示各角之间的关系？

（2）怎样得到一个角的平分线？如果只用直尺和圆规，你能画出它的平分线吗？

2.2 设计方案、总结画法

（1）探究平分角的方案。

探究问题：已知：∠A OB，求作：∠A OB的平分线OC。

师生逐步分析设计平分∠A OB的方案。

①用直尺和圆规作图，分别可作哪些图形？直尺作直线、射线与线段，圆规截取线段的长②作∠AOB的平分线OC，实际就是要转化成求什么问题？

将∠A O B化成两个相等的角

③要得到两个角相等，根据前面所学知识，应如何解决？

转化成构造全等三角形，根据学生回答画出草图，如图3。

④结合圆规的作图功能，说说要得到△OPD≌△OPE，需要添加哪些条件?

作OD=OE，DP=PE

（2）提炼尺规作角平分线的画法。

（3）根据上面分析，小组讨论以下问题：

①如何把上面的条件OD=OE，DP=EP，用尺规依次画出？

②最后如何得到∠A OB的平分线OC？

③说明射线OC是∠A O B平分线的理由。

（4）归纳总结，形成技能。

①用多媒体显示角平分线的作法；

②请学生在各自的练习本上作出∠A O B的平分线OC。

③教师总结：解决尺规作图问题，可以先根据作图目标画出草图，利用所学的知识探求作图原理，再根据尺规的功能确定所需条件与求法。

④总结已经学过的基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线。

2.3 引导发现、验证定理

（1）小组合作探究角平分线的性质（逐步推进）：

①由作图我们发现：若OD=OE，DP=EP，则有OP平分∠AOB；反之，若P是∠AOB平分线OC上一点，则OD=OE，DP=EP成立吗？若不成立，是否可改变条件与结论使新命题成立？

通过探究发现：

命题1“若P是∠A O B平分线O C上一点，且OD=OE，则PD=PE”成立；

命题2“若P是∠A O B平分线O C上一点，且PD=PE，则OD=OE”不一定成立；

②继续探究：是否存在某一特定位置的点D、E，使命题1、命题2同时成立？

探究发现：当PD⊥OA，PE⊥OB时，点D，E唯一存在，此时上述命题1、命题2同时成立。

（2）总结性质，画板验证。

①上面探究中，点D的位置可以如何确定，你能简洁地表述垂线段PD与PE吗？

②师生共同归纳：角平分线上的点，到角的两边的距离相等。

③用几何画板验证，发现在射线OC上任意拖动点P，都有PD与PE的长度相等。

（3）证明定理，感受理性（略）。

2.4 巩固新知、拓展提升（略）

新教学设计把尺规作图与定理探究作为一个整体进行设计，让学生体会到定理产生是角平分线作图探究的自然延续，而非教科书的刻意安排；而角平分线作图探索，也定位在学生已有认知的基础上的自我构建[3]，初步解决了案例1中的两个问题。教学中，学生在教师引导下发现，作角平分线就必须构建全等三角形，进而由尺规功能得出并提炼作图步骤，经历了启发性铺垫（观察、操作）,可理解性解释（归纳、验证），合理性证明（推理证明）的探究过程。虽然教学存在明显的思维导引，但考虑到学生第一次涉及作图方案设计，教师对探究方向给予适当的指导还是必要的。同时教师指导下的作图分析与方法总结，也为今后学生自我解决尺规作图问题提供了较好范例。作图基础上的逆向探究，是作图方案合理性证明后的变式研究，它巧妙地把学生研究重心引向角平分线上的点到两边的距离，不仅让学生感觉角平分线定理的产生是一种自然生成，是前面尺规作角平分线的逻辑延续，同时也有利于理解“点到两边的距离”的具体所指，有利于纠正常见错误“把到两边的距离误认为是垂直于角平分线的垂线段”[4]。

3 几何命题教学的几点建议

（1）教学程序。一个完整的数学知识的习得与探究过程，一般包含了合情推理与演绎论证这两个极为重要的思维过程。因此，完整的几何命题教学，要让学生经历实验操作，归纳验证,推理证明，运用提升的探究性学习过程。让学生在观察与操作的感性活动中初步认识图形的性质，在归纳与推理的理性思考中验证猜想的合理性。

（2）问题设计。问题是探究活动的起点，也是思维活动的载体。教师要根据教学内容与目标，设计一系列逐步递进的问题，把数学教学过程组织成提出问题、解决问题的过程，让学生在问题解决的过程增长知识、积累经验、发展能力。

（3）指导探究。几何探究性活动的顺利开展，离不开教师的导向与引领。教师要利用问题启动学生思考的引擎，要留出时间与空间放飞思维的翅膀，要适时点拨引导探索的方向，让学生探究性活动充分运用已有的知识、技能与方法去发现规律，总结结论。

（4）归纳提炼。要帮助学生归纳探究的过程与结论，提高学生自我反思与调控的能力。教学中，除了引导学生正确总结研究的成果外，教师还要有意识地抓住关键知识，对学生提出的奇思妙想加以提炼，归纳出其中重要的、常见的思维方式和数学思想方法，帮助学生在做中学，学中悟。

（5）思维培养。数学是思维的体操，思维能力培养是几何命题教学目标的重要组成。教学中，不仅要引导学生借助几何直观、开展归纳与类比活动等发现数学结论，培养合情推理能力和创新意识，还要对探究结果进行说理证实和举反例证伪，引导学生思考，培养演绎推理能力，提升思维品质。

[1]章建跃.构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考[J].数学通报,2013,(06)：5-8.

[2]何小亚,姚静.中学数学教学设计[M].北京：科学出版社,2008.

[3]马复,陈怡,程燕云.初中数学教学策略[M].北京：北京师范大学出版社,2010.

[4]教育部基础教育课程教材工作委员会组织编写.义务教育数学课程标准解读（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社,2012.