一道高三教学质量检测题命题背景探究

合肥市第六中学(230001)周天明

一道高三教学质量检测题命题背景探究

合肥市第六中学(230001)周天明

题目(合肥市2014年高三一模理19)以原点O为圆心的两个同心圆的半径分别为3和1,过原点O的射线交大圆于点P,交小圆于点Q,P在y轴上的射影为M.动点N满足

(1)求点N的轨迹方程;

(2)过点A(0,3)作斜率分别为k1,k2的直线ℓ1,ℓ2与点N的轨迹分别交于E,F两点,k1·k2=−9,求证:直线EF过定点.

(2)设E(xE,yE),F(xF,yF),依题意,由

同理可得,

显然E,F关于原点对称,所以直线EF必过原点O.

通过观察我们不难发现,点A(0,3)是椭圆的一个顶点,定值−9可写为因此我们不难得出下列猜想:

这个定点是否一定必须是顶点呢？对于椭圆上任意点是否也成立？我们可以提出如下猜想.

因为证法类似,下面只给出(1)的证明.

证明:设E(xE,yE),F(xF,yF).依题意,

结论:已知曲线C:mx2+ny2=1(m＞0且n＞0或mn＜0),过曲线上任意一点A(x0,y0)作斜率分别为k1,k2的直线ℓ1,ℓ2与曲线C分别交于E,F两点.当且仅当直线EF过原点.

实际上,当m=n＞时,曲线C为圆,此时k1·k2=−1⇔直线EF过圆心,即直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.这是圆周角定理的一个重要推论.至此,我们对这一题的背景,以及来龙去脉有了更清楚的认识,这也给我们一个重要的启示,圆是特殊的椭圆,自然也就是特殊的圆锥曲线,在平面几何中有很多有关圆的圆心、弦、直径等的性质,这些性质很多都是可以推广到圆锥曲线中.这也是我们研究圆锥曲线性质的一条重要途径.实际上,类比圆的直径,我们可以把椭圆和双曲线过中心的弦,称作它们的直径.

[1]林华,教师进修用书—圆锥曲线[M],浙江人民出版社,杭州,1982, 10.

[2]沈毅,再探圆锥曲线中的一组优美最值[J],中学数学教学,2009,2.