GdKP方程的最优系统和群不变解

李婷，沃维丰

(宁波大学数学系，浙江 宁波 315211)

GdKP方程的最优系统和群不变解

李婷，沃维丰

(宁波大学数学系，浙江 宁波 315211)

利用经典李群方法对GdKP方程进行Lie对称分析，求得该方程的Lie对称代数，及其相应的约化方程和最优系统.更进一步，作者求出了dKP方程的部分群不变解.该方法在物理中有广泛的应用.

GdKP方程；李群方法；对称约化；最优系统

1 引言

孤子理论的产生和发展蕴藏着一系列求解偏微分方程精确解的方法，如反散射方法、Darboux变换、Backlund变换、Lie对称分析等等.目前，寻求非线性微分方程相似约化解的最基本有效的方法有[1]：Lie、Ovsinnio、Venikov等提出的经典李群法，Bluman和Olver等推广的非经典李群法[23]，Clarkson和Kruskal提出的CK直接法[4]等.前两种方法主要是基于群论，后一种方法是基于代数角度来约化方程.

本文主要考虑GdKP方程[57]

其中，f是关于u的任意函数.一方面，给出方程(1)的Lie对称代数和约化方程，算出该5维生成元的一个最优系统[2]；另一方面，根据GdKP方程的最优系统和李代数，得到dKP方程

的部分群不变解.

2 GdKP方程的对称和约化方程

一般地，k阶微分方程F(x，u，∂u，∂2u，···，∂ku)=0在由生成元

生成的群变换下是不变的，当且仅当

当F(x，u，∂u，∂2u，···，∂ku)=0时.

设方程(1.1)满足的点李对称的无穷小生成元为

向量场(3)的二阶延拓pr(2)X对方程(1)应用李群方法，要求它的解集S={u|△=0}在该向量场所产生的对称群的作用下是不变的，则必须满足下列条件：

方程(4)对任意的x，t，u，ux，ut，uxt和uxx都成立，因此通过提x，t，u，ux，ut，uxt和uxx以及他们乘积的系数，得到关于ξi(i=1，···，4)的超定方程组.求解该方程组，最后得到方程(1)的李对称为

其中，ci(i=1，···，5)是任意常数.因此，方程(1)的对称群的向量场为

一个微分方程的对称群就是将方程的解仍变换为该方程的解的变换群.因此，若得到了方程的对称群或者 Lie对称代数，便可以用来求方程的其它解，即群不变解.取定无穷小Xi(i=1，···，5)之后，我们来求解特征方程

以得到相似变量和向量场约化形式.然后，将它们代入原方程(1)中，便可以得到相应的对称约化方程.

2.1 X1对应的约化方程及其李对称分析

X1对应的积分特征方程(7)为通过求解此方程，可得相似不变量和向量场约化形式u=U(ξ，η).将它们代入方程(1)并化简，求得U(ξ，η)满足一个2维约化方程

利用经典李群方法，对方程 (8)继续进行李对称分析，求得：方程 (8)满足的点李对称的无穷小生成元 v=(ξ2-2η)∂ξ+ξη∂η，相似不变量和向量场约化形式U(ξ，η)=F(τ)，方程就能约化成F(τ)满足的一个常微分方程.

2.2 X2对应的约化方程及其李对称分析

对于X2，求解方程(7)解得相似不变量是t和ξ=y2-4tx，和向量场约化形式u=U(t，ξ).将它们代入方程(1)，求得U(t，ξ)满足一个2维约化方程

对方程 (9)继续进行李对称分析，求得：方程 (9)满足的点李对称的无穷小生成元v=c1t∂t+(2c1ξ+c2t)∂ξ(其中，c1和c2为任意常数)，相似不变量和向量场约化形式分别是：将它们代入方程(9)中，求得F(τ)满足

其中，f是关于F的函数，F是关于τ的函数.

2.3 X3对应的约化方程及其李对称分析

求解特征方程(7)给出：相似不变量x和t，和u=U(x，t).将它们代入方程(1)约化可得2维偏微分方程：

对方程(11)继续进行李对称分析，求得：方程(11)的对称群的向量场为

(c1～c3为任意常数)，相似不变量向量场约化形式为 U(x，t)=F(τ).特别地，若对每一个关于ci的无穷小生成元求约化方程，可求得下列结果(见表 2.1，其中f=f(F)).

表2.1 方程(11)的约化方程

2.4 X4对应的约化方程及其李对称分析

求解特征方程(7)得到相似不变量是x和y，和向量场约化形式u=U(x，y)，其中U(x，y)满足一个2维约化方程：

对方程(12)继续进行李对称分析，求得：方程(12)的对称群的向量场是

表2.2 方程(12)的约化方程

2.5 X5对应的约化方程及其李对称分析

积分特征方程(7)解得相似不变量是y和t，向量场约化形式u=U(y，t).将它们代入方程(1)可以得到

进一步地，解得U(y，t)=yg1(t)+g2(t)，其中g1(t)，g2(t)均是关于t的任意函数.

3 GdKP方程的最优系统

方程(1)的无穷小对称的李代数由(6)式生成，根据最优系统理论[816]，表3.1列出了李代数(6)的交换关系，其中表值(i，j)表示换位子[Xi，Xj].

伴随作用由李级数给出，其中[Xi，Xj]为李代数的换位子，ϵ为参数.表3.2给出了李代数(6)的伴随作用，其中表值(i.j)为

表3.1 代数(6)的交换关系

表3.2 代数(6)的伴随表示

定理3.1 代数(6)的一维优化系统由向量场

4 dKP方程的部分精确解

当GdKP方程(1)中f(u)=u时，方程(1)便化为常见的dKP方程(2).现在，利用定理3.1 GdKP方程的最优系统和李群方法，我们来求解dKP方程(2)的群不变解.要注意的是，不是所有群都能求出群不变解，群不变解的存在性准则参看文献[17].在这里，直接列出方程(2)的部分群不变解：

[1]楼森岳，唐晓燕.非线性数学物理方法[M].北京：科学出版社，2006.

[2]Bluman G W，Kumei S.Symmetries and Differential Equations[M].New York：Springer，1989.

[3]Olver P.Applications of Lie Groups to Differential Equations[M].2nd ed.New York：Springer，1993.

[4]Clakson P A，Kruskal M D.New similarity reductions of the Boussinesq equations[J].J.Math.Phys.，1989，30：2201.

[5]Konopelchenko B，Martinez Alonso L，Ragnisco O.The-∂-approach for the dispersionless KP hierarchy [J].J.Phys.A：Math.Gen.，2001，34：10209-10217.

[6]Kadomtsev B B，Petviashvili V I.On the stability of solitary waves in weakly dispersive media[J].Sov. Phys.Dokl.，1970，15：539-41.

[7]Ablowitz M J，Clarkson P A.Solitons，Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering(London Math. Society Lecture Note Series vol 194)[M].Cambridge：Cambridge University Press，1991.

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[12]Qu C Z，Huang Q.Symmetry reductions and exact solutions of the affine heat equation[J].J.Math.Anal. Appl.，2008，346：521-530.

[13]Coggeshall S V，Meyer-ter-Vehn J.Group-invariant solutions and optimal systems for multidimensional hydrodynamics[J].J.Math.Phys.，1992，33：585-3601.

[14]Abdulwahhab M A.Optimal system and exact solutions for the generalized system of 2-dimensional Burgers equations with infinite Reynolds number[J].Com.Nonl.Sci.Num.Simu.，2015，20：98-112.

[15]Hu X R，Li Y Q，Chen Y.The construction of two-dimensional optimal systems for the invariant solutions [J].arXiv，2014，1411：3798v1.

[16]Qu C Z.Symmetries and solutions to the thin film equations[J].J.Math.Anal.Appl.，2006，317：381-397.

[17]Ovsiannikov L V.Group Analysis of Differential Equations[M].New York：Academic Press，1982.

Optimal system and group-invariant solutions for the GdKP equation

Li Ting，Wo Weifeng
(Department of Mathematics，Ningbo University，Ningbo 315211，China)

In this paper，the symmetries，similarity reductions and optimal system for the GdKP equation are studied by the classical Lie symmetry method.Furthermore，some group-invariant solutions for the dKP equation are obtained.

GdKP equation，Lie group method，similarity reductions，optimal system

O178

A

1008-5513(2016)03-0324-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.03.011

2016-01-12.

国家自然科学基金(11201249)；浙江省自然基金(LY16A010002)；宁波大学科研基金(XKL14D2040).

李婷(1989-)，硕士生，研究方向：偏微分方程.

沃维丰(1981-)，博士，讲师，研究方向：偏微分方程.

2010 MSC:58F07，81R25