偏锥b-度量空间中的不动点定理

张慧芳，薛西锋

(西北大学数学学院，陕西 西安 710127)

偏锥b-度量空间中的不动点定理

张慧芳，薛西锋

(西北大学数学学院，陕西 西安 710127)

在偏锥度量空间的基础上，介绍了偏锥b-度量空间的相关概念，提出了偏锥b-度量空间和锥b-度量空间的关系，并给出了一个简单的例子，最后研究了偏锥b-度量空间中在没有正规性的条件下的一些不动点定理，从而推广了巴拿赫压缩原理.

偏锥b-度量空间；不动点定理；非正规性

1 引言

文献 [1]提出了锥度量空间及一些基本概念，并研究了正规锥下的一些不动点定理，文献[2]研究了非正规锥度量空间中的不动点定理.文献[3]提出了锥b-度量空间中在没有正规性条件下的一些不动点定理，文献[4]在非正规的偏锥度量空间中推广了巴拿赫压缩原理，本文在文献[1-4]的基础上，提出了偏锥b-度量空间的相关概念，并指出了其和锥b-度量空间的关系，最后证明了非正规偏锥b-度量空间中的一些不动点定理.

2 预备知识

设E是一个拓扑向量空间，P是E的一个非空闭子集，若满足：

则称P为E中的一个锥.设x，y∈E，若x≤y⇔y-x∈P和x≪y⇔y-x∈intP，则称“≤”和“≪”都为E中的偏序，这里intP表示P的内部.若intPΦ，则称P为体锥.如果对于任意的x，y∈E都存在常数M＞0，使得当θ≤x≤y，都有‖x‖≤M‖y‖，则称P为范数向量空间(E，‖·‖)中的正规锥，而满足上式最小的M称为P的正规常数.

引理 2.1[4]设P为范数向量空间(E，‖·‖)的一个体锥，{un}是E的一个序列，若对每个ε∈intP，存在一个正整数n0，使得ε±un∈intP，即un≪ε，对所有的n≥n0，则un依范数收敛于θ.

引理2.2[5]设(X，d)为Rn+上的完备的锥度量空间，且有映射 T：X→X.若存在一个线性有界映射L：Rn+→Rn+，且它的谱半径r(L)＜1，使得

定义 2.1[1]设 X 是一个非空集合，P是拓扑向量空间 E的一个锥，假设映射 d：X×X→P满足：

定义 2.2[3]设X是一个非空集合，P是拓扑向量空间E的一个锥，s≥1为给定的实数，假设映射d：X×X-→P满足：

定义 2.3[4]设 X 是一个非空集合，P是拓扑向量空间 E的一个锥.假设对于任意的x，y，z∈X，映射p：X×X-→P满足：

定义 2.4 设X是一个非空集合，P是拓扑向量空间E的一个锥，s≥1为给定的实数.假设对于任意的x，y，z∈X，映射p：X×X-→P满足：

注 2.1每个锥b-度量空间都是一个偏锥b-度量空间.下面的例子表明了偏锥b-度量空间却不一定是锥b-度量空间.

定义2.5[4]设(X，p)为一个偏锥b-度量空间，{xn}⊂X，x∈X，则

定义2.6[6-7]设(X，p)为范数向量空间(E，‖·‖)上的关于体锥P的偏锥b-度量空间.

3 主要结果及其证明

定理3.1 设(X，p)是范数向量空间(E，‖·‖)的一个体锥P上θ-完备的偏锥b-度量空间，且有映射 T：X→X.如果存在一个线性有界映射L：P→P，且r(L)＜1，使得

定理3.2 设(X，p)是范数向量空间(E，‖·‖)的一个体锥P上θ-完备的偏锥b-度量空间，且有映射 T：X→X.若存在四个非负数c1，c2，c3，c4，且c1+c2+c3+2c4＜1，使得

参考文献

[1]Huang Longguang，Zhang Xian.Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings[J]. Mathematica Analysis and Applications，2007，332：1468-1476.

[2]Rezapour S，Hamlbarani R.Some notes on the paper’Cone Metric Spaces and fixed Point theorems of contractive mappings’[J].Mathematica Analysis and Applications，2008，345：719-724.

[3]Huang H，Xu S.Fixed Point theorems of contractive mappings in cone b-metric spaces and applications[J]. Fixed Point Theory and Applications，2014，2014：1-5..

[4]Jiang S，Li Z.Extensions of Banach contraction principle to partial cone metric spaces over a non-normai solid cone[J].Fixed Point Theory and Applications，2013，2013(1)：1-9.

[5]Agarwal R P.Contraction and approximate contraction with an application to multi-point boundary value problems[J].Comput.Appl.Math.，1983，9：315-325.

[6]Sonmez A.Fixed Point theorems in partial cone metric spaces[J].arxiv，2011：1101.2741v2.

[7]Sonmez A.On partial cone metric space[J].arxiv，2012：1207.6766v1.

Fixed point theorems in partial cone b-metric spaces

Zhang Huifang，Xue Xifeng
(College of Mathematics，Northwest University，Xi′an 710127，China)

In this paper，we introduce the relevant concepts of partial cone b-metric spaces on the basis of partial cone metric spaces.Then we put forward the relationship between partial cone b-metric spaces and cone b-metric spaces and give a simple example.At last，We study some fixed point theorems in partial cone b-metric spaces over a non-normal solid cone.Our results also generalize Banach contraction principle.

partial cone b-metric spaces，fixed point theorems，non-normality

O177.91

A

1008-5513(2016)03-0263-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.03.05

2015-11-04.

陕西省自然科学基金(2012JM1017).

张慧芳(1990-)，硕士生，研究方向：非线性泛函分析.

2010 MSC:60B12