盖尔范德在整值整函数理论上的工作

王全来

(天津师范大学计算机与信息工程学院，天津 300387)

盖尔范德在整值整函数理论上的工作

王全来

(天津师范大学计算机与信息工程学院，天津 300387)

本文基于原始文献，利用历史分析和比较的方法，首次研究了盖尔范德在整值整函数理论方面的工作及影响.他的工作奠定了该理论发展的重要方向.文章分析了其工作背景；研究了他的有关工作，揭示了其思想的演变过程；探讨了其工作的重要影响.

盖尔范德；整值整函数；插值级数；超越数理论；多项式理论

1 引言

整值整函数理论自1915年由波利亚(G.Pólya)首次提出，直到今日仍不断被研究和发展.函数论大师博阿斯(P.Boas)对此评价到，“这是分析学中最深刻的结果之一”.

整值整函数理论从1915到2010年的研究论文较多，但有关其历史的论文只有两篇.一篇是古冉门(F.Gramain)的“算术整函数：历史一瞥”[1](1984)，另一篇是古冉门和施尼策尔(F.J.Schnitzer)的“整值整函数：历史注记”[2](1989).这两篇论文，从其内容看，作者选取了一些文献和研究成果，对其中的一些重要定理给出新证明和适当的注记，没有从整值整函数的发展史来写，正因如此，除文献资料引述不全外，没有对该理论的发展过程进行详细梳理和研究.比伯巴赫(L.Bieberbach)在“解析开拓”(1955)一书中专设一章介绍整值整函数理论[3]，其写作风格和前两篇论文方式相同.除此之外，国内外未有见到专门研究文献.

从历史上看，波利亚的整值整函数定理是整值整函数理论研究的起点.在波利亚工作的影响下，许多数学家在该理论上做了大量工作.盖尔范德(A.O.Gelfond)不仅涉及该理论较早，且影响很大，其工作成为该理论发展的一个重要方向.盖尔范德为前苏联数学家，涉及数学领域较多，但以在超越数和解析函数理论的工作著称.与超越数理论有关的研究为整值整函数研究.两篇有关该理论历史的文章只涉及他的1929年的两篇文章，比伯巴赫的著作只涉及他的1929及1933年的3篇文章，其余的工作没有涉及.由于整值整函数理论内容庞杂，理论思想深奥，因此很难通过一篇论文说清该理论的发展历程.本文在深入分析该理论在1915到2010年间的研究文献基础上，研究盖尔范德的有关工作，分析其思想背景、思想方法和影响，梳理出以他的工作为发展方向的整值整函数理论的发展历程.

2 整值整函数理论起源

在19世纪末，埃尔米特和林德曼分别证明了eα对于非零代数数的超越性之后，产生了一个超越解析函数在非零代数点处是否取超越值的问题.自此之后，超越函数在复数点处的算术行为的研究吸引了众多数学家的注意.一些人曾猜想，一个这样的超越函数在有理点处应取超越值.很快这个猜想被指出是错误的.魏尔斯特拉斯在1886年写给斯特劳斯(E.Strauss)的信中指出，对上述问题的正确性只对严格的函数类成立.在信的末尾处，他指出，可以通过各种可能的方法构造一个系数全是有理的超越整函数，对任意代数点总取代数值是可能的.其工作引出一个影响其后发展的深刻问题，即在这个范围内的函数可否通过简单的算术性质进行刻画.斯特劳斯试图阐明这个问题，但未能圆满解释，且留下一个问题，即是否可通过具有有理系数的一致收敛幂级数表示的超越函数，在有限个代数点处取代数值.

斯塔克(P.Stäckel)在得知斯特劳斯的工作后，在1895年指出，其遗留的问题可以填补.他的工作得益于希尔伯特.希尔伯特指出，一个代数函数若对一个任意小区间内的一切有理点取有理值，则它一定是有理函数[4].他只是在实有理点讨论该定理，但易推广到复数域上.斯塔克证明，对每个可数子集Σ⊂C和一个稠密子集T⊂C，C为复数域.古冉门在文献[1]中指出，当C为实数集R时结论也成立，并给出严格证明.其实，斯塔克在该定理后已有暗示.

希尔伯特在“数学问题”(1900)中把魏尔斯特拉斯的问题抽象化为其中的第七个问题“αβ的超越性，α是不为0和1的代数数，β为无理性代数数”.他补充到，“实际上，某个超越函数在代数点处取代数值，似乎奇怪，并值得注意和进一步研究”.因此，希尔伯特从一定程度上讲设计了单或多变量的“算术整函数”的研究课题.

斯塔克在1902年构造超越整函数f及其导数f(t)(Q)⊆Q，t=0，1，2，3，···.两年后，法伯尔(G.Faber)加强了这个结果，证明存在超越整函数f(t)(R)⊆Q(i)，t=0，1，2，3，···，R为C中Q的代数闭集.该结果直到1968年才有进一步发展.普腾(Van der Poorten)证明存在超越整函数f使f(s)(α)∈Q(α)，α为一切代数数.黄阁(J.Huang)，马克斯(D.Marques)等人解决了任意一个代数数集合是某个超越整函数例外集问题，并得到在超越数背景下一些重要结果[5].

通过函数和其导数在代数点处取值情况不能判断函数超越性，这一点由维基(A.Wilkie)在1995年就实代数数的情况进行了说明.他的工作后由闻薮(R.Wencel)继续研究和发展.

若由有理整数代替代数数，则可得到研究超越整函数的另一途径，即整值整函数研究.波利亚在“论整值整函数”[6](1915)中开创了算术整函数研究先河.盖尔范德在此方面做了奠基性工作，成为后来该理论发展的一个重要研究方向.

3 盖尔范德之前一些数学家的相关工作

4 盖尔范德的重要工作

5 盖尔范德工作的重要影响

伯川德(F.Bertrandias)受卡尔松“整值整函数”思想的影响，在“算术函数”(1958)中讨论了阿贝尔意义下的算术整函数定理.对于n∈N，f(n)(n)∈Z的整函数现被称为阿贝尔意义下的算术整函数.同年，他基于拉普拉斯―波莱尔变换进一步深入探讨了阿贝尔意义下的算术整函数问题.弗里德曼(A.Fridman)受伯川德和盖尔范德工作的影响，在1969年利用插值法把盖尔范德1929年定理中的导数有限次推广到无限次，并得到常数ln(1+e-1)[24].外尔特在2005年证明 ln(1+e-1)可以由 ln2代替.同时，他考虑了在Z上的整值整函数，则ln(1+e-1)可由ln[(3+51/2)/2]代替.瓦利斯(R.Wallisser)在1985和1990年利用q-相似拉普拉斯变换得到了整函数在几何序列点处的增长率和形式的一些结果，使盖尔范德1933年的结果为其特殊情况.古冉门通过超越数方法证明了盖尔范德1933年的结果，并提到了用这种方法可以研究具有导数的情况，但他未研究[25].

皮拉通过引入函数一致阶的概念，在2002和2003年利用插值法得到了一个整值整函数定理，盖尔范德1933年结果为其特例.外尔特引入集合基数，在整数集的一般子集上把盖尔范德1933年，毕兹闻的结果一般化.

设un为Z的序列，un+m=un(mod m)，m≥1的问题由茹萨(I.Z.Rusza)在1971年提出，皮瑞里(A.Perelli)，扎尼尔(U.Zannier)等人进行深入研究.皮瑞里和扎尼尔在1981年研究了整值整函数f的增长，与波利亚的整值条件相比补充了一个算术条件，对充分大的素数p和一切n∈N，满足f(n+p)≡f(n)(mod p).他们证明一个指数类型小于ln(e+1)的整函数若在正整数集上具有这个性质，一定为一个多项式.但他们不能构造指数类型为ln(e+1)的超越整函数在正整数集上具有此性质.毕兹闻用皮瑞里和扎尼尔的研究成果，补充条件

随着p-进制数的理论发展，使整值整函数理论又有新进展.斯特劳(E.G.Straus)、洛克斯顿(J.H.Loxton)等人研究了p-进制形式下的波利亚整值整函数定理.外特尔在“在复域和p-进制域内的整值性”(1999)和“在几何序列上其导数为整值的整函数”(2000)中采用盖尔范德超越数方法和利用Siegel命题构造辅助函数证明了在几何序列qn，n=1，2，3，···上取整值的类似于弗里德曼的定理.这个定理中所给常数是错误的，该错误由他在2003年关于该文的更正中纠正[29].

另一个活跃的主题是有限特征域的涉及.卡尔 (M.Car)在 1997年对有限域的多项式环 Fq[T]，利用整函数的 q-阶理论证明了波利亚定理的类似定理，其结果由德拉麦特(L.Delamette)利用沃世特在1993年引入的插值行列式进一步改进[30].插值行列式法首次出现于莱默(H.Lehmer)1933年的论文中，后经多位数学家发展，并应用于与数论有关的领域.沃世特利用此法在1993年证明波利亚定理，在1997年证明复数乘积集合上的波利亚定理.

古冉门在文献[12]中把盖尔范德1929年的定理推广到虚二次域的整环上.阿伯利在2011年在更大数域内又把古冉门的上述结果一般化.卡尔在 2001年把虚二次域推广到有限域中，但不能得到定理的最佳常数值.亚当(D.Adam)在2004年证明了两个结果，第一个结果表明对于整函数，卡尔在上述定理中的上界是正确的，卡尔给出了一个例子说明此界是最佳的.第二个结果是盖尔范德1933年的定理在Fq[T]中的一个类似定理[31].亚当在2010年通过引入卡里茨模，采用函数的q-进制插值法证明了类似于盖尔范德1933年的定理.亚当在2011年证明了在正特征p域上的盖尔范德定理.他证明指数类型小于p/elnq的整函数，满足f(σ)(Fq[T])⊂(Fq[T])，0≤σ＜p，则它为一个多项式.在该文最后证明了类似于盖尔范德1967年的结果[32].茹彻夫(P.Rochev)在2011年利用插值法把盖尔范德1929年的两个结果在更一般的数域上推广，并有更深入的研究.亚当和外尔特在有限特征域上，基于保留经典导数解析性和算术性的基础上引入完全整函数的概念，一般化了弗里德曼、外尔特等人结果，通过引入多项式序列和卡里茨模进一步加强了盖尔范德1967年的结果.

多变量函数算术性质的研究始于1941年施耐德的论文“阿贝尔函数和积分理论”.但是这篇文章中关于多变量算术性质的论述一直到朗(S.Lang)在1965年注意和进一步研究.斯特劳在1950年的文章中证明了一个在有限代数点集上整值整函数的类型和阶的一般性结果，并在最后提出了把这个结果推广到亚纯函数或多个变量的复函数问题[33].应该指出的是，施耐德在1948年采用完全不同的方法证明了一个类似结果，对于单变量亚纯函数的斯特劳的结果为其推论，并注释到，把他的定理推广到多个复变量的函数没有任何困难[34].这种扩展确实由朗在1965年完成.斯特劳看到了施耐德的论文，对其评价到，他的方法更强大，结果更完整.斯特劳的方法只能用于在代数点处的超越函数，而施耐德的方法可用于更一般的两个函数的值代数独立情况.施耐德的结果尽管对超越数理论发展有深远影响，但不含盖尔范德和斯特劳的准确结果.施耐德从代数独立角度阐述盖尔范德1929年工作，但没给出确切形式.万恩在2010年对盖尔范德1933，1967年结果也从此角度进行深入讨论.

斯特劳的结果推广到多个变量的情况首先出现在1967年贝克(A.Baker)的文章中.他用n维空间中的拉普拉斯―波莱尔变换证明了n维的波利亚定理的类似定理，并把盖尔范德1929年结果一般化.但其法不能用到更一般的如亚纯函数情况[35].自从他的工作开始，盖伊(R.Gay)等人对多变量整值函数的研究获得一些重要结果.沃世特在1976年把斯特劳的结果推广到亚纯函数上.阿米蒂琦(D.H.Armitage)由Zm代替Nm推广贝克及盖尔范德1929年结果.

布恩舒受盖尔范德1933年定理的影响，在1970年证明了一个类似于该定理的无理性判别准则.利用该准则和多变量插值法在1980年证明了多变量整值整函数定理，把盖尔范德1967年的结果一般化.这个定理的下列推论使盖尔范德1933年结果为其特殊情况[36].

受布恩舒工作影响，不同于他，毕兹闻在另一方向上利用线性循环序列把盖尔范德1933年结果一般化.古冉门在文献[25]中利用施耐德的超越数法把布恩舒和毕兹闻的结果一般化.吉野(K.Yoshino)利用解析函数的傅里叶-波莱尔变换和阿凡尼萨-盖伊变换，对于多变量的非整函数给出了类似的波利亚定理，可以看做是盖尔范德1952年工作的推广.瑞沃和外尔特在文献[21]中进一步研究，纠正了吉野定理中一个错误条件，得到更为一般性的定理.

6 结语

在波利亚工作的影响下，许多数学家在该领域做了大量工作，盖尔范德的工作即是其中之一，并成为整值整函数发展的重要方向，足见他的影响.他的工作从一个侧面说明，现代数学各分支发展融合的特点[37].对于证明整值整函数的各种结果的方法基本有三种，插值级数、拉普拉斯变换、盖尔范德和施耐德的超越数法.插值级数理论在20世纪初的丢番图逼近中起着重要角色.整值整函数与超越数理论有紧密联系.来自于超越数理论解决希尔伯特第七问题的解决方法，后来被进一步成功应用于整值性问题的研究.这些方法不断改进也促进了整值整函数理论的进一步发展.波利亚定理不能直接推广到实解析函数情况.琼斯(O.Jones)，托马斯(M.Thomas)等在2012年对此有类似结果的情况进行研究，奠定在实数域内研究整值整函数理论的基础.

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Gelfond′s work in theory of integer valued entire functions

Wang Quanlai
(The College of Computer and Information Engineering，Tianjin Normal University，tianjin 300387，China)

This paper first studies A.O.Gelfond′s work and influence on theory of integer valued entire functions based on the original material by historical analysis and comparative method.In 1915，G.P ó lya initiated the study of this theory.Further refinements are due to a number of authors including A.O.Gelfond.His work laid an important direction for the development of this theory.This article analyzes the background of his work；It studies his related work and reveals the evolution of his thought；It investigates some important influence on others.

A.O.Gelfond，integer valued entir functions，interpolation series，transcendental number theory，polynomial

O11

A

1008-5513(2016)03-0252-11

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.03.004

2016-04-08.

国家自然科学基金(11571276).

王全来(1974-)，副教授，研究方向：近现代数学史.

2010 MSC:01A05