非线性对流扩散方程的守恒律

张俊俊，张隽

(浙江工业大学理学院，浙江 杭州 310023)

非线性对流扩散方程的守恒律

张俊俊，张隽

(浙江工业大学理学院，浙江 杭州 310023)

利用直接方法研究了非线性对流扩散方程的守恒律，得到了关于非线性对流扩散方程的守恒律乘子性质的一个定理.利用这个定理，可以简化守恒律乘子的确定方程.随后通过对确定方程中的变量函数进行分析，发现在四种情况下乘子的确定方程是可解的.最后解出这些守恒律乘子，利用积分公式法分别得到了四种情况下对应于各个守恒律乘子的守恒律.

非线性对流扩散方程；守恒律乘子；守恒律；欧拉算子；积分公式法

1 引言

在微分方程的研究中，守恒律具有很多重要的用途.它们可以描述物理守恒量如质量、能量、动量和角动量，以及其它运动常数[12]；它们可以用来研究微分方程的可积性和线性化映射以及解的存在唯一性[35]；它们也可以用来分析解的稳定性和全局行为；它们还可以用来构建微分方程的数值算法[67]，并且为寻找非局部相关系统和潜在变量提供了一个重要的方法.此外，守恒律还可以用来得到一些偏微分方程的精确解[812].因此，研究微分方程的守恒律是非常有意义的.

何为微分方程的守恒律？一般来说，对于一个给定微分方程系统，其守恒律是一个满足下面性质的散度表达式：把微分方程的任意解代入该表达式中，其结果等于零.目前，计算守恒律的最有效的方法有两种.第一种是利用对称与守恒律的关系来计算守恒律.这种方法的理论依据是Noether定理及其推广的形式.1918年，Noether在她的一篇研究守恒律的论文[13]中，阐述了守恒律和变分对称之间的关系，指出若一个微分方程可以由变分原理得到，则任何使作用函数形式不变的单参数李点变换群都可以生成一个局部守恒律，并且在文章中还给出了守恒律中通量函数的计算公式.随后Bessel-Hagen在1921年[14]，Boyer在 1967年[15]先后给出了推广形式的Nother定理，即结论对于更一般的作用函数也成立.第二种是直接方法[1].利用欧拉算子和微分形式之间的关系，将守恒律的计算问题转化为乘子(若一个微分多项式乘上另一个微分多项式后可写成全微分的形式，则第二个微分多项式就称为第一个微分多项式的乘子)的计算问题，而乘子所满足的方程可以通过欧拉算子给出，只要乘子所满足的方程有解，就一定能找到原系统的守恒律.具体的理论依据和方法在下文中还将介绍.第一种方法具有重要的理论意义，它首次将守恒律和对称联系起来，但是在实际计算中具有较多的限制，比如微分方程的线性系统必须是自伴随的(这是微分方程可由变分原理得到的充要条件)，微分方程必须有一个简单的作用函数等等.第二种方法具有很强的可操作性，对于任意一个微分方程，都可以用直接方法来尝试寻找守恒律.

对于一个给定的微分方程系统，计算守恒律的一般步骤如下：通过定理1.1，可以得到能够生成守恒律乘子所满足的确定方程组，求解该方程组，得到守恒律乘子，再利用积分公式法，可以得到方程的守恒律.

本文的组织如下.在第二部分中，我们利用定理1.1，得到关于方程(1)的守恒律乘子性质的一个重要定理.根据此定理，可以简化方程(1)的守恒律乘子满足的确定方程.在第三部分中，考虑不同条件的D(u)和P(u)，求解在各种情况下的简化后的守恒律乘子的确定方程，再利用积分公式法，得到各种情况下方程(1)对应的守恒律.

2 方程 (1)的守恒律乘子性质的定理

定理2.1 若方程(1)拥有形如Λ(x，t，U，Ux，···)的守恒律乘子，则p=0，即方程(1)的守恒律乘子与U对自变量的各阶导数无关.

3 方程 (1)的守恒律

在本节中，利用定理2.1，得到守恒律乘子满足的确定方程，通过讨论D(U)与P(U)的不同取值，求解确定方程，得到守恒律乘子，再利用积分公式法构建出相应的守恒律.

4 小结

本文中，我们利用Bluman等人提出的直接方法研究了非线性对流扩散方程(1)的守恒律，给出了关于其守恒律乘子性质的一个定理，并予以证明.利用这个性质定理极大地简化了守恒律乘子的确定方程.因为非线性对流扩散方程中含有两个变量函数，自然地，其守恒律乘子的确定方程中也含有这两个变量函数.通过讨论变量函数的四种不同取法，求解相应守恒律乘子确定方程，得到了守恒律乘子.最后利用积分公式法，在每一种情况下，通过所得的乘子可以找到其对应的守恒律.纵观利用直接方法计算守恒律，欧拉算子的性质是非常重要的.如果想用直接方法来处理分数阶微分方程，如何推广欧拉算子到分数阶导数上，是非常值得研究的核心问题，这也是我们今后需要重点研究的方向.

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Conservation laws for nonlinear convection-diffusion equation

Zhang Junjun，Zhang Jun
(Department of Applied Mathematics，Zhejiang University of Technology，Hangzhou 310023，China)

In this paper，we use the direct method to study conservation laws for nonlinear convection-diffusion equation and obtain a theorem about the property of the conservation law multipliers for nonlinear convectiondiffusion equation.By using this theorem，we can simplify the determining equations of conservation law multipliers.Then by analysing variable functions which are in the determining equations，we can find that the determining equations are solvable in four cases.Finally we can get the conservation law multipliers under the four cases by solving the determining equations and obtain the conservation law corresponding to every conservation law multiplier under these four cases by using integral formula method.

nonlinear convection-diffusion equation，conservation law multipliers，conservation laws，Euler operators，integral formula method

O175.2

A

1008-5513(2016)03-0296-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.03.008

2016-02-24.

国家自然科学基金(11371323)；浙江省自然科学基金(Y6100611).

张俊俊(1992-)，硕士生，研究方向：可积系统及其应用.

2010 MSC:37K05