具广义功能反应函数非自治捕食系统的持久性和概周期问题

齐新社，邓磊，黄瑞平，王娜

(1.西安通信学院，陕西 西安 710106；2.边防学院，陕西 西安 710108)

具广义功能反应函数非自治捕食系统的持久性和概周期问题

齐新社1，邓磊2，黄瑞平1，王娜1

(1.西安通信学院，陕西 西安 710106；2.边防学院，陕西 西安 710108)

针对既有捕食关系，有竞争关系的三种群混合非自治捕食系统，将经典的Holling功能反应函数推广为广义功能反应函数，通过构造Liapunov函数，运用常微分方程定性理论知识，研究了系统的持续性和全局渐近稳定性，并进一步讨论了此系统的正概周期解的存在性和稳定性，得到了系统存在唯一、全局渐近稳定正概周期解的充分条件，对已有的结论进行了较大程度的推广.

功能反应函数；持续性；概周期解

1 引言

近年来，食饵捕食系统的周期解受到了许多学者的广泛关注，得到了种群持续生存和存在全局渐近稳定的正周期解的充分条件[1-4].在许多情况下，特别是考虑到季节及种群的繁殖等因素的影响，一个更切合实际且更一般的食饵捕食模型应当是概周期的.众所周知，概周期现象是以周期现象作为它的特例，是比周期现象更广泛的一类现象，因而具有较高的研究价值.食饵–捕食系统中存在着各式各样的食饵对捕食者的功能性反应函数，其中最为常见的就是HollingII类和HollingIII类[5].已有许多文献对此进行了研究.近来又相继提出并研究了具HollingIV类功能反应函数

(见文献[6])和具一般的Holling类功能性反应函数(见文献[6-7])的捕食系统，得到了极限环的存在唯一性条件.

2 持续性

定理2.1 假设系统(1)满足以下条件：

其中xL，xM，yL，ym见下面证明过程中所取的值，则系统(1)是永久性持续生存的[8].

3 全局渐近稳定性

下面讨论系统(1)的全局渐近稳定性.

定理3.1 若系统(1)满足定理1中的条件(H1)，(H2)，(H3)及下面三个条件：

则系统(1)是全局渐近稳定的.

4 概周期解的存在唯一性

为了研究系统(1)的概周期解的存在唯一性，考虑下述乘积系统

引理4.1 设D是R3+的一个开集，函数V(t，x，y)定义在R+×D×D上，满足：

而且设原系统(1)当t＞t0＞0时有位于紧集S⊂D中的解，则系统(1)在S中存在唯一且一致渐近稳定的概周期解p(t)，满足mod(p)⊂f.

定理4.1 若概周期系统(1)满足条件(H1)，(H2)，(H3)，(H4)，(H5)，(H6)，则系统(1)存在唯一的正概周期解，且是全局渐近稳定的.

参考文献

[1]芦雪娟，堵秀凤.一类具有常数收获率的功能性反应模型的定性分析 [J].黑龙江大学自然科学学报，2009，26(6)：62-765.

[2]姜玉秋.一类稀疏效应下食饵-捕食者系统的脉冲控制[J].吉林大学学报(理学版)，2008，46(1)：23-26.

[3]刘振杰.具有时滞和Beddington-DeAngelis功能性反应的N种群食物链系统的周期解[J].黑龙江大学自然科学学报，2008，25(2)：277-280.

[4]赵明，程荣福.一类具生物控制和比率型功能反应的食物链系统周期解的存在性[J].吉林大学学报(理学版)，2009，47(4)：730-736.

[5]张树文，谭德君.具有 HollingⅡ类功能反应且周期系数的三种群混合模型的研究 [J].生物数学学报，2000，15(3)：353-357.

[6]王继华，曾宪武.一类具有简化 HollingⅣ类功能反应的捕食 -食饵模型的定性分析 [J].数学杂志，2004，24(6)：701-705.

[7]Chen Liujuan，Sun Jianhua.Qualitative analysia on a class of ecosystem[J].Ann.of Diff.Eqs.，2004，20(4)：337-341.

[8]马知恩.种群生态学的数学模型与研究[M].合肥：安徽教育出版社，1996.

Persistence and almost periodic solutions of non autonomous predator prey system generalized functional response

Qi Xinshe1，Deng Lei2，Huang Ruiping1，Wang Na1
(1.Xi′an Communication Institute，Xi′an 710106，China；2.Frontier Academy，Xi′an 710108，China)

In this paper，the mixed model with predatoriness and competition of three species is discussed. Through intending the classical Holling functional response with general functional response and building up the Liapunov function，the globe asymptotically stable and durative of system are studied.Then the stability and existing of almost periodic solution are discussed，and obtain some sufficient conditions for a unique positively global asymptotical stability almost periodic solution and extend the current conclusion.

functional response，solution，persistence，almost periodic

O175

A

1008-5513(2016)03-0243-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.03.003

2016-04-15.

国家自然科学基金(61305083).

齐新社(1974-)，硕士，副教授，主要研究方向：微分方程定性理论研究.

2010 MSC:34D05，34D20