一类函数的对数完全单调性

王晓瑾

(西北大学数学学院，陕西 西安 710127)

一类函数的对数完全单调性

王晓瑾

(西北大学数学学院，陕西 西安 710127)

通过对参数λ，µ的讨论，主要利用函数的单调性理论，已有对数完全单调函数的性质以及幂函数的积分表达式研究了函数Gλ，µ(x)及函数[Gλ，µ(x)]-1的对数完全单调性，并在此基础上得到了一定条件下函数Gλ，µ(x)及[Gλ，µ(x)]-1对数完全单调的充要条件.

Gamma函数；对数完全单调性；导数

1 引言

欧拉Gamma函数自产生到发展至今，已经有着悠久的历史了，历经几代数学家孜孜不倦的研究，如今Gamma函数的理论体系日趋完善，在其他学科中的应用不论从广度还是深度都达到了一个新高度.文章选择研究Gamma函数及与之相关的函数主要因为它们不但有丰富的理论依据，而且是研究不等式的有力工具，还可以与其他学科相互融合.

称函数f在区间I上完全单调，如果f在区间I上存在各阶导数且满足：

如果不等式(1)严格成立，则称函数f在区间I上严格完全单调[1-4].

称函数f在区间I上对数完全单调，如果它的对数lnf在区间I上存在各阶导数且满足：

如果不等式(2)严格成立，则称函数f在区间I上严格对数完全单调[1-4].

在文献[5-6]中郭森林和祁锋证明了函数

在区间(max{0，-β}，∞)上对数完全单调当且仅当β≥1，并且证明了函数1/gβ(x)对数完全单调当且仅当经过对该函数的仔细推敲和研究，就想到给函数gβ(x)再引入一个参数对数完全单调性又将如何呢？从该问题出发，文章通过对参数的分类讨论，研究了函数

的对数完全单调性.

2 引理

为了证明主要结论，我们先给出以下引理.

参考文献

[1]Guo S.Some classes of completely monotonic functions involving the gamma function[J].J.Pure Appl. Math.，2006，30(4)：561-566.

[2]Mitrinović D S，Pečarić J E，Fink A M.Classical and New Inequalities in Analysis[M].London：Kluwer Academic Publishers，1993.

[3]Schillin R L，Song R，Vondrač Z.Bernstein Functions：Theory and Applications.de Gruyter Studies in Mathematics 37[M].2nd ed.Berlin：Walter de Gruyter，2012.

[4]Widder D V.The Laplace Transform[M].Princeton：Princeton University Press，1946.

[5]Guo S.Some classes of completely monotonic functions involving the gamma function[J].J.Pure Appl. Math.，2006，30(4)：561-566.

[6]Guo S，Qi F，Srivastava H M.Necessary and sufficient conditions for functions involving a ratio of gamma functions to be logarithmically completely monotonic[J].Integral Transforms&Special Functions，2009，18(11)：819-826.

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[8]Qi F，Luo Q M.Complete monotonicity of a function involving the gamma function and application[J]. Periodica Mathematica Hungarica，2014，69(2)：159-169.

The logarithmically completely monotonic property of a class of function

Wang Xiaojin
(College of Mathematics，Northwest University，Xi′an 710127，China)

This article mainly studies the logarithmically completely monotonicity of the function Gλ，µ(x) and the function[Gλ，µ(x)]-1by the discussion of the parameter λ，µ，using the monotonicity theory，the logarithmically completely monotonicity property of the existent function and the integral expressions.On the basis of this，we further get the necessary and sufficient conditions of the logarithmically completely monotonicity of the function Gλ，µ(x)and the function[Gλ，µ(x)]-1under certain conditions.

the Gamma function，logarithmic completely monotonicity，differential coefficient

O174.6

A

1008-5513(2016)03-0318-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.03.010

2016-04-29.

国家自然科学基金(11331005).

王晓瑾(1989-)，硕士生，研究方向：特殊函数论.

2010 MSC:33B15