求数列通项公式的常用方法

陈雪涛

数列是高中数学的重要内容，而数列的通项公式是数列的核心，它如同函数的解析式一样，有解析式便可研究其性质，而有了数列的通项公式，便可求出任意一项及前n项的和.本文介绍求数列通项公式的一些常用方法，供读者参考.

1.观察法

例1求下列各数列的一个通项公式：

（1） 0.9 ， 0.99， 0.999 ， 0.9999 ， …；

（2） -2，54，-109，1716，….

解（1）将数列中的项和1进行比较就会发现：

a1=0.9=1-110，a2=0.99=1-1100，

a3=0.999=1-11000，…

因此an=1-110n.

（2）将数列的各项变为-21，54，-109，1716，…注意观察各项的符号是正负交替出现的，分母是一组平方数，分子比分母大1，因此an=（-1）n×n2+1n2.

2.公式法

若已知数列是等差（或等比）数列，可运用等差（或等比）数列的通项公式求解.

例2已知数列{log2（an-1）} （n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9.求数列{an}的通项公式.

解设等差数列{log2（an-1）}的公差为d，

由a1=3，a3=9得2d=log2（9-1）-log2（3-1），

即d=1.

所以log2（an-1）=1+（n-1）×1=n，

从而an=2n+1.

3.运用an与Sn的关系求通项公式

运用数列的通项an与数列的前n项和Sn的关系an=S1（n=1），

Sn-Sn-1（n≥2）求数列的通项公式时，要注意关系式中的条件.

例3已知数列{an}的前n项的和Sn满足：Sn=3+2n，求数列{an}的通项公式.

解由Sn=3+2n，（1）

得Sn-1=3+2n-1 （n≥2）.（2）

（1）-（2）得Sn-Sn-1=2n-2n-1 （n≥2），

即an=2n-1 （n≥2）.

由已知得a1=S1=5，不满足an=2n-1，

所以an=5，n=1，

2n-1，n≥2.

4.由数列的递推公式求通项公式

由数列的递推公式求通项公式常用的数学思想是化归与转化，把数列化成等差或等比数列.根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的.

（1）形如an-an-1=f（n）的形式，采用累加法.

例4已知数列{an}中，a1=2，an+1-an=3n （n∈N*），求数列{an}的通项公式.

解由an+1-an=3n （n∈N*）得

a2-a1=3×1，

a3-a2=3×2，

a4-a3=3×3，

…

an-an-1=3×（n-1），（n-1）个式子相加得：

an-a1=3×[1+2+…+（n-1）]=3×n×（n-1）2，

所以an=2+3n（n-1）2 （n≥2）.

又a1=2满足上式，

所以数列{an}的通项公式为an=2+3n（n-1）2.

（2）形如anan-1=f（n）的形式，采用累乘法.

例5已知数列{an}中，a1=12，（n-1）2an-1=（n2-1）右顶点，则常数a的值为.

解析由直线l的参数方程x=t，

y=t-a （t为参数）消去参数t得直线l的一般方程：y=x-a.由椭圆的参数方程可知其右顶点为（3，0）.因为直线l过椭圆的右顶点，所以3-a=0，即a=3.

点评求未知参数的基本方法是先将极坐标方程或者参数方程转化为直角坐标方程，判断其类型，根据类型找出它们特有的性质，最后应用代数或几何关系列出相应的等式求解.

题型7根据曲线的参数方程求两曲线的交点的个数

例7（2012年北京）直线x=2+t，

y=-1-t （t为参数）与曲线x=3cosα，

y=3sinα （α为参数）的交点的个数为.

解析直线方程可化为x+y-1=0，曲线方程可化为x2+y2=9，圆心（0，0）到直线x+y-1=0的距离d=12=22<3，所以直线与圆有两个交点.

点评事实上，此类题型还有求曲线与曲线的交点，就是求方程组的实数解问题.

本文对坐标系与参数方程仅给出7种题型及其相应的解答方法，为高中此部分的专题教学提供参考.要提高专题的质量，我们还需研读《普通高中数学课程标准》，领会教科书的编写意图，结合实际，才能制定出科学的教学方案.an （n≥2），求数列{an}的通项公式.

解由（n-1）2an-1=（n2-1）an （n≥2），

得anan-1=n-1n+1 （n≥2），

a2a1=13，

a3a2=24，

a4a3=35，

…

anan-1=n-1n+1 ，（n-1）个式子相乘得：

ana1=13×24×35×…×n-3n-1×n-2n-1×n-1n+1

=1×2n（n+1），

所以an=1n（n+1） （n≥2）.

又a1=12满足上式，

所以数列{an}的通项公式为an=1n（n+1）.

（3）形如an=Aan-1+B （A、B是常数）的形式，采用构造法，构造以A为公比的等比数列.

例6已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，求数列{an}的通项公式.

解因为an+1=2an+1，所以an+1+1=2（an+1），

所以数列{an+1}是首项为a1+1=2，公比为2的等比数列.

所以an+1=2×2n-1，所以an=2n-1.

例7已知数列{an}中，a1=4，2an+1=an+1，求数列{an}的通项公式.

解待定系数法

因为2an+1=an+1，

所以an+1=12an+12（1）

设an+1+x=12（an+x），

所以an+1=12an-12x（3）

由（1）、（2）可得12=-12x，所以x=-1.

所以数列{an-1}是首项a1-1=3，公比为12的等比数列.

所以an-1=3×（12）n-1，所以an=3×（12）n-1+1.

（4）形如an=Aan-1+An （A为常数）的形式，采用构造法，构造以1为公差的等差数列.

例8已知数列{an}，a1=1，an=3an-1+3n （n≥2），求数列{an}的通项公式.

解由an=3an-1+3n （n≥2），两边同时除以3n得

an3n=an-13n-1+1，

所以an3n-an-13n-1=1 （n≥2）.

所以数列{an3n}是首项为a13=13，公差为1的等差数列.

所以an3n=13+（n-1）×1=n-23，

所以an=3n（n-23）=n·3n-23·3n=n·3n-2·3n-1=3n-1 （3n-2）.

故数列{an}的通项公式是an=3n-1（3n-2）.

（5）形如an=Aan-1+Bn （A、B为常数）的形式，采用构造法，构造以A为公比的等比数列.

例9已知数列{an}，a1=2，an+1=2an+3n，求数列{an}的通项公式.

解设数列{an}满足an+1+λ·3n+1=2（an+λ·3n） （λ∈R），

整理得an+1=2an-λ3n.

又an+1-3n+1=2（an-3n），所以λ=-1，

所以an+1-3n+1=2（an-3n），所以an+1-3n+1an-3n=2，

故数列{an-3n}是首项为a1-3=-1，公比为2的等比数列.

所以其通项公式是an-3n=-1×2n-1，

故数列{an}的通项公式是an=-1×2n-1+3n=3n-2n-1.

（6）形如an=Can-1A+Ban-1 （A、B、C为常数）的形式，往往取倒数，构造等差（或等比）数列.

例10已知数列{an}满足a1=1，an+1=an1+6an，求数列{an}的通项公式.

解由已知可知an≠0，故对an+1=an1+6an式子两边同时取倒数，

得到1an+1=1+6anan=1an+6，所以1an+1-1an=6，

故数列{1an}是首项为1a1=1，公差为6的等差数列.

所以1an=1+（n-1）·6，所以an=16n-5，

故数列{an}的通项公式是an=16n-5.

（7）关于an+1或an的二次三项式的形式，常常通过分解因式，达到求通项公式的目的.

例11已知首项为1的正项数列{an}满足（n+1）a2n+1-na2n+an+1·an=0，求数列{an}的通项公式.

解由（n+1）a2n+1-na2n+an+1·an=0，

得[（n+1）an+1-nan]·（an+1+an）=0.

因为an>0，所以an+1+an>0，

故（n+1）an+1-nan=0，所以an+1an=nn+1.

转化为anan-1=f（n）的形式，采用累乘法可求得数列{an}的通项公式为an=1n.