辅助线在解高中立体几何问题中的作用

周贤才

立体几何是高中数学的重点和难点，其解题思路多变，解法灵活，且很多时候需要学生绘制对应的辅助线才能顺利求解.从长期的实践教学来看，学生在辅助线的绘制上往往不得要领，多数凭借感觉，盲目绘制，致使解题效率低下.本文将从实际问题出发，对立体几何求解中辅助线的作用进行讨论.

一、空间问题平面化

例1在三棱锥O-ABC中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的大小是多少？

解析欲求直线与平面的夹角，学生们常会联想到向量的解法.但从本题的题型来看，在三棱锥图形中不宜绘制坐标系求解.若是能够将线面夹角转换成线线夹角，必然更容易求解.联系三棱锥的性质，添加平面ABC的垂线OD，促使空间角转换成了平面角.由垂线OD可得Rt△ODM、Rt△ODC，同时，也构造出了直线OM与平面ABC的夹角.此时，只需对Rt△ODM进行分析计算即可.

若设OA=OB=OC=a，则AB=AC=BC=2a.

利用三棱锥的体积计算公式，可以得到VO-ABC=16a3，

则OD=VO-ABC13S△ABC=33a.

在直角三角形OMD中，DM=13MC=36a.

由正切定义可知，直线OM与平面ABC所成角θ的大小满足tanθ=ODDM=2，故二面角的大小是arctan2.

点评在立体几何的求解中，切勿滥用空间向量解题.如在线面角、二面角、线面垂直、面面垂直时，不妨绘制垂线进行辅助，实现解题的简化作用.

二、等效原则，化繁为简

例2已知四边形ABCD为平行四边形，BC⊥平面ABE，F为CE的中点.求证：AE∥平面BDF.

解析欲证线面平行，可以由线线平行、面面平行证得.在本题中，学生需要将已知条件向线线与线面关系靠拢，寻求证明途径.如图2所示，过点E作直线BF的平行线.且在平面BCE内，延长CB到G，使BG=BC，最后连接GE、GA.因为B、F分别是CG、CE的中点，由中位线定理可知BF∥EB.且BF平面BDF，GE平面BDF，所以GE∥平面BDF.又因为平行四边形ABCD，得到AD∥BC，所以有AD∥CG.又因为B为CG中点，可知BG=AD，所以四边形AGBD为平行四边形，得到GA∥BD.又因为BD平面BDF，GA平面BDF，所以GA∥平面BDF.又因为GA平面AEG，GE∩GA=G，所以有平面AEG∥平面BDF.最后，因为AE平面AEG，所以AE∥平面BDF，即得证.当然，辅助线的作法五花八门，只要能够顺利、简捷的得到欲证结论即可.对于本题，过E点作直线DF的平行线，继续利用面面平行的关系，依然可以得证.

点评立体几何线面关系类型的证明题，往往不会直接给出证明条件，需要学生利用等价代换原则，对线线关系、线面关系及面面关系进行转换.有时，利用常规方法或许也能实现证明求解，但可能会带来较为复杂的解题步骤.对此，利用辅助线进行转换证明，会给解题带来简化.

三、关联因果，补充题设

例3在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点，求证：平面D1EF∥平面BDG.

解析欲证面面平行，首先必须绘制出对应的结论平面，即连接EF、BD、D1F、BG、DG.通常证明面面平行往往采用线面平行的方法，由E、F分别是AB、AD的中点，得到EF∥BD，进一步可得EF∥平面BDG.上述的线和面均在欲证结论之中，此时，需要继续在平面D1EF上寻找另一条直线，并证明其与平面BDG平行.在四边形D1GBE中，有D1G平行且等于BE，故可知四边形D1GBE是平行四边形.因此，便可以顺利得到结论BG∥D1E.同时，EF、D1E为同一平面内的两条相交直线，且都平行于平面BDG.故由该线面平行，可以证得平面D1EF平行于平面BDG.在本问题的求解中，首先连接对应点，联系因果关系，利用辅助线来补充题设.从图3中不难看出，在辅助线绘制后，相关图形之间的关系变得清晰明了，对学生求解作用显著.

点评在求解或证明空间几何问题时，辅助线最主要的作用就是联系因果，补充题设.在辅助线绘制上，必须联系题设，从已知与问题入手，辨析查找突破口.见到中点，往往会联想到中位线定理；见到三棱锥，往往会联想到垂线定理.在辅助线的实际绘制过程中，还需要结合问题实际，进行灵活使用.

在实际解题过程中，这些方法往往不是单独出现的，需要学生进行综合性的分析使用.立体几何问题的辅助线绘制是千变万化的，不存在什么模板，不会一蹴而就，必须要进行足量练习，在长期的训练过程中进行积累和升华.