函数单调性的应用

蔡平

函数的单调性是函数的一条重要性质，反映了函数值的变化规律. 在高考中历考弥新，考查的深度远远高于课本.

在讨论函数单调性时必须在其定义域内进行，因此要研究函数的单调性就必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集. 接下来就来谈谈函数单调性的应用.

例1试讨论函数f（x）=xx2+1的单调性.

分析可采用定义法或导数法判断.

解法一f（x）的定义域为R，在定义域内任取x1

都有f（x1）-f（x2）=x1x21+1-x2x22+1=（x1-x2）（1-x1x2）（x21+1）（x22+1），

其中x1-x2<0，x21+1>0，x22+1>0.

①当x1，x2∈（-1，1）时，即|x1|<1，|x2|<1，

所以|x1x2|<1，

则x1x2<1，1-x1x2>0，f（x1）-f（x2）<0，f（x1）

②当x1，x2∈（-∞，-1]或[1，+∞）时，

1-x1x2<0，f（x1）>f（x2），所以f（x）为减函数.

综上所述，f（x）在[-1，1]上是增函数，在（-∞，-1]和[1，+∞）上是减函数.

解法二因为f ′（x）=（xx2+1）′=x2+1-x（x2+1）′（x2+1）2

=x2+1-2x2（x2+1）2=1-x2（x2+1）2，

所以由f ′（x）>0解得-1

由f ′（x）<0解得x<-1或x>1，

所以f（x）在[-1，1]上是增函数，在（-∞，-1]和[1，+∞）上是减函数.

方法总结判断（或证明）函数单调性的主要方法有：（1）函数单调性的定义；（2）观察函数的图象；（3）利用函数和、差、积、商和复合函数单调性的判断法则；（4）利用函数的导数等.

例2讨论函数f（x）=axx-1（a≠0）在（-1，1）上的单调性.

解设-1

f（x）=a（x-1+1x-1）=a（1+1x-1），

f（x1）-f（x2）=a（1+1x1-1）-a（1+1x2-1）

=a（x2-x1）（x1-1）（x2-1）.

当a>0时，f（x1）-f（x2）>0，

即f（x1）>f（x2），函数f（x）在（-1，1）上递减；

当a<0时，f（x1）-f（x2）<0，

即f（x1）

例3已知函数f（x）=x2+ax （a>0）在（2，+∞）上递增，求实数a的取值范围.

分析 求参数的范围转化为不等式恒成立时要注意转化的等价性.

解法一设2

f（x1）-f（x2）=x21+ax1-x22+ax2=（x1-x2）+a（x2-x1）x1x2

=（x1-x2）x1x2-ax1x2<0

恒成立.即当2a恒成立.

又x1x2>4，则0

解法二f（x）=x+ax，f ′（x）=1-ax2>0，

得f（x）的递增区间是（-∞，-a），（a，+∞），根据已知条件a≤2，解得0

方法总结已知函数的解析式，能够判断函数的单调性，确定函数的单调区间，反之已知函数的单调区间可确定函数解析式中参数的值或范围，可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求解.

例4函数y=x-5x-a-2在（-1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是

A.a=-3B.a<3C.a≤-3D.a≥-3

解析y=x-5x-a-2=1+a-3x-a+2，

需a-3<0，

a+2≤-1，即a<3，

a≤-3，

所以a≤-3.故选C.

例5已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x>0时，f（x）<0，f（1）=-23.

（1）求证：f（x）在R上是减函数；

（2）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值.

审题视点抽象函数单调性的判断，仍须紧扣定义，结合题目作适当变形.

解（1）证法一：因为函数f（x）对于任意x，y∈R总有f（x）+f（y）=f（x+y），

所以令x=y=0，得f（0）=0.

再令y=-x，得f（-x）=-f（x）.

在R上任取x1>x2，则x1-x2>0，

f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）.

又因为x>0时，f（x）<0，

而x1-x2>0，所以f（x1-x2）<0，即f（x1）

因此f（x）在R上是减函数.

证法二：设x1>x2，则

f（x1）-f（x2）=f（x1-x2+x2）-f（x2）

=f（x1-x2）+f（x2）-f（x2）=f（x1-x2）.

又因为x>0时，f（x）<0，而x1-x2>0，

所以f（x1-x2）<0，即f（x1）

所以f（x）在R上为减函数.

（2）因为f（x）在R上是减函数，所以f（x）在[-3，3]上