应用导数求函数参数范围

王学成

作为高中数学函数模块补充和延伸的导数，不仅丰富了很多初等函数的解题方法与途径，而且从更高力度上加深了学生对函数知识的认知.利用导数去处理的函数类问题是高考题中的热点问题，能够全面地考查学生对函数的认知程度与应用知识的能力，应用导数讨论一些函数中参数的取值范围是这类问题中的一种典型问题.本文结合一些例题来讨论这类问题的求解方法与一般规律.

一、导数与函数单调性结合确定参数范围

例1设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a为实数.（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论.

解析（1）由f ′（x）=1x-a≤0，即1x≤a对x∈（1，+∞）恒成立，所以a≥|1x|max.

而由x∈（1，+∞）知1x<1，所以a≥1.

由g′（x）=ex-a，令g′（g）=0，则x=lna.

当xlna时，g′（x）>0.

因为g（x）在（1，+∞）上有最小值，

所以lna>1，所以a>e.

综上所述：a的取值范围为（e，+∞）.

（2）当a≤0时，g（x）必为单调增函数；

当a>0时，令g′（x）=ex-a>0，解得alna.

因为g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，类似（1）有lna≤-1，即0

结合上述两种情况，有a≤e-1.

点评先对f（x）=lnx-ax求导，利用条件f（x）在（1，+∞）上是单调减函数求出a的范围，再利用g（x）在（1，+∞）上有最小值求出a的范围，两者取交集.函数单调性与导数法则的掌握是解题的关键，利用导数对函数单调性讨论是解题的关键，函数方程与不等式间的相互转化是解题的技巧.

例2已知函数f（x）=ex-2x+a有零点，则a的取值范围是.

解析f ′（x）=ex-2.令f ′（x）=0，解得x=ln2.

当x∈（-∞，ln2）时，f ′（x）<0，

当x∈（ln2，+∞）时f ′（x）>0.

所以函数f（x）在x=ln2处取得极小值，

所以f（x）min=f（ln2）=2-2ln2+a，

因为函数f（x）=3x-2x+a有零点，

所以2-2ln2+a≤0，即a≤2ln2-2.

所以a的取值范围是（-∞，2ln2-2].

点评先求出f（x）的导函数，令导函数等于0可解除其极值，经过分析发现其有最小值，而函数又有零点，零点时令f（x）=0的方程的解，亦可看做函数图象x轴交点的横坐标，此时不难发现其函数图象与x轴有交点，只需令最小值位于x轴上或其下方即可.此题同例1一样，要把握住关键点，掌握相应解题技巧.也可用下述方法解决此类问题.

二、导数与图象结合求解参数范围

例2已知函数f（x）=-x2+2x，x≤0，

ln（x+1），x>0，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是

A.（-∞，0]B.（-∞，1]C.[-2，1]D.[-2，0]

解析选D.画出函数y=|f（x）|的图象如图1所示.

当x≤0时，g（x）=|f（x）|=x2-2x，

g′（x）=2x-2，g′（0）=-2，故a≥-2.

当x>0时，

g（x）=|f（x）|=ln（x+1），

g′（x）=1x+1.

由于g（x）上任意点的切线斜率都要大于a，所以a≤0.

综上-2≤a≤0.

点评先结合函数画出函数y=|f（x）|的图象，利用y=|f（x）|在（0，0）处的切线为制定参数的标准.根据函数画出函数图象是解题的基础，利用导数确定函数图象上各点切线的斜率是解题的关键，通过对图象特征分析找到解题的突破口.

三、构造函数借助导数求解参数范围

例3设函数f（x）=exx2-k（2x+lnx） （其中k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）.（1）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围.

解析（1）f ′（x）=ex·x2-2xexx4-k（-2x2+1x）

=（x-2）（ex-kx）x3 （x>0）.

当k≤0时，kx≤0，所以ex-kx>0.

令f ′（0）=0，得x=2.函数在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增.

（2）令g（x）=ex-kx，则g′（x）=ex-k.

令ex-k=0，得x=lnk.

由于g′（0）=1-k<0，g（0）=1>0，g′（2）=e2-k>0，g（2）=e2-2k>0，所以k1，所以k>e.综上知k的取值范围是（e，e22）.

点评先求函数的导函数，极值点的定义及题意得出函数的单调性.观察导函数式子的特点，构造函数，利用导数研究极值，从而确定函数参数范围.由熟练的应用导数确定函数的单调性是解题的基础，构造出函数找到讨论的途径是解题的关键，应用零点定理就能找到解题的突破口.

四、参变分离求解参数范围

例4已知函数f（x）=x-ax-lnx，a>0.若f（x）>x-x2在[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围.

解析f（x）>x-x2，即x2-ax-lnx>0.

因为x∈（1，+∞），所以a

令g（x）=x3-xlnx，

则h（x）=g′（x）=3x2-lnx-1.

h′（x）=6x-1x=6x2-1x.

在[1，+∞）上，h′（x）>0，得h（x）>h（1）=2，

即g′（x）>0.

故g（x）=x3-xlnx在[1，+∞）为增函数，

g（x）≥g（1）=1，所以a的取值范围是（0，1].

点评该题考查导数的应用、性质等基础知识，但是参变分离后对右式要进行二次求导，又考查了学生的逻辑思维能力，综合性较高，要具备良好的数学素质.但是把握住参变分离这个大框架，就确定了问题的解题方向，借助导数基础知识逐步解决问题.