二元函数的最值引发的教学思考

吴雷雷

本文结合高考中经常出现的二元函数的最值问题，阐述了求解的常用方法，即基本不等式、整体换元和数形结合法.高三学生学得辛苦，但由于缺乏对数学问题本质的认识，常常事倍功半，在重复与茫然的训练中效率不高.而我们教师可以通过自身的研究与探索，使得数学知识拎起来成一串、撒下去铺一片，这样就能让学生举一反三，让学生在收获的季节里，少些遗憾，多些欣慰！

下面是本人针对二元函数的最值及其相关问题，进行了适当的反思，以期抛砖引玉.

一、基本不等式法

基本不等式是求解二元函数最值的常用方法，运用其解决问题时要注意“一正二定三相等”，常常需要创设一个使用基本不等式的情景，思路有：变常数、变系数、拆项等.

例1设P（x，y）为函数y=x2-1 （x>3）图象上一动点，记m=3x+y-5x-1+x+3y-7y-2，则当m最小值时，点P的坐标为.

分析由于点P（x，y）在函数图象上，故可以化为一元函数，然后根据其特征，采用基本不等式求解.

略解m=3x+x2-6x-1+x+3x2-10x2-3

=6+x2-3x-1+x-1x2-3≥6+2x2-3x-1·x-1x2-3=8.

当且仅当x2-3x-1=x-1x2-3，即x=2时m取得最小，此时点P的坐标为（2，3）.

二、整体换元法

在数学问题中把某一个式子看成一个整体，用一个变量即所谓的“元”去替换它，把替换的变量重新构造成新的数学关系.在整体换元解题中，最为重要的就是构造元和设元，这是整体换元解题的关键，而经过换元后能够和已知条件联系得更加直观，实现复杂问题简单化、生疏问题熟悉化.

例2已知x，y为正数，则x2x+y+yx+2y的最大值为.

分析考虑到x，y为不相关的正数，

不妨令t=xy （t>0）.

略解设z=x2x+y+yx+2y=xy2（xy）+1=1xy+2，

令t=xy （t>0），则z（t）=t2t+1+1t+2，

z′（t）=（t2t+1+1t+2）′=-3t2+3（2t2+5t+2）2.

令z′（t）>0得0

三、数形结合法

若给定的目标函数是线性目标函数或者具有斜率、距离等几何意义，则求此类二元函数的最值的基本思想是将“数”的问题，化为“形”的特征，利用几何意义解决问题.

例3已知f（x）=2mx+m2+2，m≠0，m∈R，x∈R.若|x1|+|x2|=1，则 f（x1）f（x2）的取值范围是.

分析从|x1|+|x2|=1看，可看成|x|+|y|=1构成的一个正方形，考虑运用数形结合，同时，不禁让人想起求函数F（a，θ）=a2+2asinθ+2a2+2acosθ+2的最值.

略解k=m2+2+2mx1m2+2+2mx2=m2+1m-（-x1）m2+1m-（-x2）.设点P（m2+1m，m2+1m），Q（-x2，-x1），则 f（x1）f（x2）的取值范围就是PQ的斜率范围，点P是射线y=x（x≥2）上一点，点Q是|x|+|y|=1构成的正方形上一点.如图1，直线P0Q1的斜率为1-22，直线P0Q2的斜率为2+2，则f（x1）f（x2）的取值范围是[1-22，2+2].

二元函数是高等数学的基础知识，高中阶段，通常以较简单的形式出现，重在培养学生的思维能力和探究意识，其求解过程是一种创造性的劳动，而方法又是多种多样的，比如还有消元法，三角换元法等等，我们要有所侧重地选择常见的几种方法与学生探究，使数学思想方法的渗透更为自然，这样对激发学生的学习热情和学习质量具有独特的意义，能取得良好的效果，从而让学生真正感受到美的数伴随在他们左右，最终充分地发展学生的想象力.y=x的交点，则点B的横坐标为x=1m-1，因为m>k>1，所以m-1>k-1>0，所以1m-1<1k-1，由图象可知：在x∈（1m-1，+∞）时，函数y=f（x）的图象恒在直线y=x的上方，所以f（1k-1）>1k-1恒成立.

师评：通过函数图象分析，让我们更加清晰地看出试题是如何命制，也让我们将相对抽象的、复杂的数学关系直观、清晰地展现出来，达到一幅图胜过一千个文字说明.

【本文是福建省教育科学“十二五”规划2015年度立项课题《高中数学试卷讲评课教学策略实证研究》（课题立项批准号：FJJK15-464）】