“不等式问题串式教学”的应用

罗晓雪

（福建省清流县第一中学）

“不等式问题串式教学”的应用

罗晓雪

（福建省清流县第一中学）

问题串式教学就是将某个较复杂的问题分解成若干个难度循序渐进的问题，每一个都是独立的问题。教师从不同层次要求学生掌握，让学生在对比、辨析、迁移中学会处理问题的方法。在教学中尝试这种方法，收到了较好的效果。

不等式；问题串；分层次；恒成立

提出问题：已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=x ln x+1，若x0∈［2，3］使得f（x）≥g（x）成立，求a的取值范围。

在处理此类比较复杂的恒成立问题之前，可以先让学生处理一些较简单的问题，进而寻找出一般的处理方法，达到循序渐进的目的。

一、不等式左右两边都含有式子

问题1：已知函数f（x）=（x+1）ln x-x+1，若x2+ax+1≥xf′（x）恒成立，求a的取值范围.

解析：函数f（x）的定义域为｛x|x＞0｝

∴x2+ax+1≥x ln x+1.

∴ax≥-x2+x ln x（x∈R+），即a≥-x+ln x.

∴g（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数.

∴g（x）max=g（1）=-1，

∴a≥-1.

二、引入不等式在某个区间内对任意的x恒成立的问题

问题2：已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=x ln x+1，若∀x∈［2，3］都有f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围.

解析：∵函数f（x），g（x）的定义域都为｛x|x＞0｝

∴x2+ax+1≥x ln x+1，∴ax≥-x2+x ln x（x∈R+），即a≥-x+ln x.

要使∀x∈［2，3］都有（fx）≥g（x）恒成立，只需a≥h（x）max.

∴h（x）max=h（2）=-2+ln2

∴a≥-2+ln2.

三、引入不等式在某个区间内存在x0成立的问题

问题3：已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=x ln x+1，若∃x0∈［2，3］使得f（x）≥g（x）成立，求a的取值范围。

解析：∵函数f（x），g（x）的定义域都为｛x|x＞0｝

∴x2+ax+1≥x ln x+1，∴ax≥-x2+x ln x（x∈R+），即a≥-x+ln x.

要使∃x0∈［2，3］使得（fx）≥g（x）成立，只需a≥h（x）min

∴h（x）min=h（3）=-3+ln3，

∴a≥-3+ln3.

四、拓展迁移：对自变量的数量进行调整，类比问题2，则可以继续提出问题

问题4：已知函数f（x）=x2-ax，g（x）=ln x，若∀x1，x2∈［1，3］都有f（x）≥g（x）成立，求a的取值范围.

解析：依据题目得出只需f（x）min≥g（x）max即可，而g（x）max= g（3）=ln3.

问题5：已知函数f（x）=x2-ax，g（x）=ln x，若∃x1，x2∈［1，3］使得f（x）≥g（x）成立，求a的取值范围.

解析：只需f（x）max≥g（x）min，而g（x）min=g（1）=0，（x2-ax）max≥0

∴3-a≥0即a≤3.

问题6：已知函数f（x）=x2-ax，g（x）=ln x，若∀x1∈［1，3］总存在x2∈［1，3］使得f（x）≥g（x）成立，求a的取值范围。

解析：依题知只需f（x）min≥g（x）min，而g（x）min=g（1）=0.

∴（x2-ax）min≥0，∴（x-a）min≥0，∴1-a≥0即a≤1.

问题7：已知函数f（x）=x2-ax，g（x）=ln x，若∀x2∈［1，3］总存在x1∈［1，3］使得f（x）≥g（x）成立，求a的取值范围。

解析：依题知只需f（x）max≥g（x）max，而g（x）max=g（3）=ln3.

∴（x2-ax）max≥ln3，f（1）=1-a，f（3）=9-3a.

当1-a-9+3a＞0时，即a＞4时，a＜1-ln3，不合题意，舍去；

［1］翟丽.函数任意性与存在性问题探析［J］.高中数学教与学，2015.

［2］韩义成.“任意性”和“存在性”问题求参数范围解析［J］.数理化解题研究，2016.

［3］傅建红.聚焦函数中的任意性与存在性问题［J］.高中数学教与学，2012.

［4］孟博.一个不等式“串”的应用［J］.中学生数学，2006（9）.

［5］王秋生.函数中的任意性和存在性问题案例分析［J］.数理化解题研究：高中版，2011.

［6］王跃.一题多变赏析函数中的任意性与存在性问题［J］.中学课程辅导：教学研究，2016.

［7］何长林，刘勤.一个优美不等式串及与之有关的系列不等式串［J］.数学通讯，2013（24）.

·编辑张慧