数学思想在“集合”中的运用

曹振财

（陕西省商南县高级中学）

数学思想在“集合”中的运用

曹振财

（陕西省商南县高级中学）

一、数形结合思想

用数形结合思想解题具有直观性、灵活性和深刻性的特点，有较强的综合性.在“集合”中加强这方面的学习和训练，是巩固数学知识、打好基础、提高能力的重要一环.

例1.已知集合且U=｛x∈N+|x≤10｝，AU，BU，且A∩B=｛4，5｝，（CUB）∩A=｛1，2，3｝，（CUA）∩（CUB）=｛6，7，8｝，求集合.

分析：本题已知条件较多，用推理的方法求解不如用Venn图将已知条件尝试在图中标出，用填图的方法来解决，直观形象，易于理解.

由上图可得：A=｛1，2，3，4，5｝，B｛4，5，9，10｝.

点评：Venn图是集合的一种表示方法，在解决一些抽象集合或集合元素是离散的有限集合问题时，用Venn图形象直观、易于理解，要注意把握并善于运用这种数学思想.

二、分类讨论思想

分类讨论思想解决问题的关键是分类标准要明确，做到不重不漏，其实质是将整体问题转化为部分来解决，从而增加题设条件，实现化整为零，化繁为简的目的.

例2.已知集合A=｛x|ax2+2x+1=0，a∈R｝

①若A中只有一个元素，求a的值.

②若A中至多只有一个元素，求a的取值范围.

分析：关键是要明确分类标准.

解：①应根据a是否为0分两种情况进行讨论：

ii）当时a≠0时，Δ=4-4a=0，即a=1

∴a=0或a=1

②A中至多只有一个元素，也包括两种情形：

i）A中只有一个元素，由①知：a=0或a=1；

∴a的取值范围是a≥1，或a=0

点评：利用分类讨论思想解答分类讨论问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点问题，在“集合”里经常用到分类讨论思想.

三、化归与转化思想

化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题，将复杂问题转化为简单问题，将较难问题转化为较易问题，将未解决问题转化为已解决问题.常用的转化方法有：一般与特殊的转化，繁与简的转化，命题的等价转化，构造转化等.

例3.设集合求的值组成的集合A=｛x|x2-3x+2=0｝，B=｛x| 2x2-ax+2=0，x∈Z｝，若A∪B=A，求a的值组成的集合.

分析：由A∪B=A得B⊆A，分情况讨论求解.

解：A=｛1，2｝，由A∪B=A得B⊆A，

①当B=Ø时，满足B⊆A，此时方程2x2-ax+2=0无解，即

Δ=a2-16＜0解得-4＜a＜4

②当B=Ø时，A=｛1，2｝.

将x=1代入方程2x2-ax+2=0得a=4，此时B=｛1｝，符合题意；

将x=2代入方程2x2-ax+2=0得a=5，此时B=｛2，｝，不符合题意，应舍去.

故a的值组成的集合为｛a|-4＜a≤4｝.

点评：在解决一些集合问题时，当一种集合的表达形式不好入手时，常将其转化为另一种形式，使问题明朗化，如A⊆B⇔A∩B =A⇔A∪B=B.

四、交集思想、并集思想、补集思想

1.交集思想：当一个数学问题是求同时满足若干个条件P1，P2，P3，…An的解时，如果把满足各条件的对象表示成集合，则其交集M=A1∩A2∩A3∩…∩An中的元素就同时满足问题的每个条件，就是这一数学问题的解集.

2.并集思想：当一个数学问题需要分到若干种情况讨论时，若将问题分为n类，每类问题的解集为A1∩A2∩A3…An，则P=A1∪A2∪A3∪…∪An就是这个问题的解集.

3.补集思想：已知全集∪，求子集A时，若直接求困难，可先求CU，再由CU（CUA）=A求A.这种“正难则反”的解题方法，运用的就是补集的思想方法.

例4.已知全集∪，集合H=｛x|x2-4px+2p+6=0｝，Q=｛x∈R|x＜0｝全集U中p的取值可使集合H中的方程有两解.若H∩Q≠Ø，求实数p的取值范围.

分析：若直接从H∩Q≠Ø入手，则集合H中的方程x2-4px+ 2p+6=0至少有一个负根，此时不易求解，故可从H∩Q≠Ø入手.

解：设全集∪=｛p|Δ=（-4p）2-4（2p+6）≥0｝=｛p|p≤-1，或p≥｝当H∩Q=Ø时，方程x2-4px+2p+6=0的两根x1，x2均非负，由韦达定理得：

故所求实数p的取值范围是｛p|p≤-1｝.

点评：本题正是运用了“补集思想”，这种“正难则反”的解题原则，有时很有用.

·编辑温雪莲