“用正多边形拼地板”的教学设计与反思——谈数学教学中如何创设情境引导学生提出问题

高国祥（漳州第一中学，福建漳州36300）

“用正多边形拼地板”的教学设计与反思
——谈数学教学中如何创设情境引导学生提出问题

高国祥
（漳州第一中学，福建漳州36300）

通过“用正多边形拼地板”的教学设计与反思说明：在数学课堂上，教师应以数学学习活动组织者、引导者和合作者的角色，创设数学情境，引导学生提出问题。应围绕教学目标恰当地筛选学生提出的问题，析出有价值的问题，把数学学习引向纵深。

数学情境；数学问题；数学模型；正多边形；周角

在实际数学教学过程中，教师要在课堂上呈现数学结论形成的整个过程，揭示许多看上去很简洁很漂亮的数学结论与现实生活的关联。“用正多边形的地板”正是这样的一个贴近学生生活实际的数学问题。在这个问题教学过程中，教师应如何引导学生将实际问题抽象成数学模型并应用数学知识加以解决，应如何创设情境引导学生提出有价值的数学问题呢，是两个值得深入思考与研究的问题。

一、教学设计

1.教材分析

“用正多边形拼地板”是华东师大义务教育课程标准实验教科书数学初中一年级（七年级下册）第八章多边形的第4节。本节既是对本章一开始所提出的问题的回答，又是对三角形和多边形有关知识的应用。本章一开始先从瓷砖的铺设提出问题，瓷砖的铺设是本章教学内容的实际背景，教师已经让学生通过各种途径搜集实际生活中见过的瓷砖的形状及铺设方法。运用正三角形和正多边形的内角和、外角和、每个内角的度数等性质来探索“用正多边形拼地板”的问题。

在表现上，不再应用课堂先讲结论再通过例题来加以说明论证，最后在通过类似的练习来巩固，只是要求学生记下结论，而是采用先创设数学情境与提出数学问题激发学生的好奇心和探索心从而和教师一起发现解决问题的办法，通过教材的“问题型”呈现和习题的探索性和开放性，改变学生的学习方式，让学生自主探索、合作学习。同时还让学生欣赏用正多边形瓷砖铺设地面的各种各样的图案，使其感受到数学的美，认识到数学的价值。

笔者将要和学生一起解决本节要解决的一些问题有：正n边形的内角和是怎么计算的？正n边形的内角的度数是怎么计算的？为什么用某些正多边形能够铺满地面？用某些正多边形能否铺满地面？

2.设计思路

针对前面所学的多边形的性质等相关知识，结合教学内容创设数学情境与提出数学问题，启发学生思维。通过求正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正七边形、正n边形的内角和、每个内角度数、周角与每个内角的度数的关系等一系列问题，逐步将现实问题转化并且抽象成数学问题（即“建立数学模型”）。在本节就是把“用相同的正多边形能否铺满地面的问题”抽象为考察“周角是否是正多边形内角的整数倍的问题”。最后笔者还要引导学生理性归纳出：“用几个正多边形能否铺满地面”抽象为考察“围着某一点拼接在一起的若干个正多边形的内角的和能否恰好构成一个周角”。

通过指导和讲评课后的练习在于要求学生能运用正三角形、正方形、正六边形这几种图形进行简单的镶嵌设计，为下一节“用多种正多边形拼地板”作铺垫。

二、教学过程

1.设置数学问题情境

师：同学们，我们在本章一开始就收集了一些能够铺满地面的不同形状的瓷砖的图案，现在同学们先举出你们见过的用相同的正多边形铺满地面的例子，然后让我们一起来拼地板。

生1：我家地板是用正方形的瓷砖铺成的。

生2：我家院子的地板是用正六边形的瓷砖铺成的。

生3：我还看到过用正三角形拼成的地板。

根据学生的回答笔者在黑板画出了一些表示用相同的瓷砖铺满地面的图形如下：

2.提出问题

师：同学们，根据你们的实际生活经验，考虑一下有关的问题。

生l：为什么没有正五边形拼成的地板？好像也没见过正七边形拼成的地板？

生2：为什么正三角形（正三边形）、正方形（正四边形）、正六边形能铺满地板，正五边形就不能铺满地板呢？（许多同学也附和着）

3.解决问题

师：大家讨论一下，应该怎样解决上述问题？

笔者下去看同学们的讨论，他们很多在草稿纸上用直尺、量角器等画着各种图形，在拼“地板”呢！经过5、6分钟的讨论，有几个学生代表发言：

生1：跟正多边形的边数有关系，也就是跟正多边形的形状有关系。

生2：好像跟正多边形的内角有关系。

生3：确实跟正多边形的内角有关系，而且我们前面已经学过正多边形的每个内角的度数都是相等的。

师：同学们的想法是正确的，使用给定的某种正多边形，它能否拼成一个平面图形，既不留下空白，又不相互重叠，确实与它的内角的大小有关系，而且我们前面学过正多边形的每个内角的度数是相同的。为了解决上面提出的“为什么有些正多边形能铺满地面，有些却不行？”的问题，我们一起来完成下表：（可用计算器计算数据）

（在填表的同时边复习多边形的内角和公式（n-2） *180o，正多边形每个内角度数公式），填完表后，

师：同学们请观察一下这个表格，讨论一下，大家是否能找到上面你们提出的问题的解决方法？

经过1、2分钟观察讨论，有学生代表发言：表格最后一行中，当周角是正多边形每个内角的倍数是整数时，则用这种正多边形就能铺满地面；不是整数时，则用这种正多边形就不能铺满地面。（很多同学同意这个观点）

师：那我们现在就一起来拼拼地板，看看同学们的观点对不对？接着我就拿出事先准备好的正三角形硬纸板，围绕着一个点用正三角形硬纸板一个个在黑板上拼“地板”（其它类似拿出正方形、正五边形、正六边形、正七边形硬纸板拼“地板”），拼成的“地板”如下图：

6个4个3个留下36o的空白3个

（拼完后）师：根据我们拼的“地板”和表格中的数据对照一下，刚才同学们的归纳是正确的，即“当周角是正多边形每个内角的整数倍时，用这种正多边形就能够铺满地面”，请同学们继续考虑一下你们归纳的结论具有一般性吗？如果像我们以前讲过的“用不同的正多边形瓷砖可以铺满地板”，那我们怎么判断“用不同的正多边形能否铺满地板”呢？（学生沉默）

师（继续提示）：其实“用相同的正多边形铺地板”是“用不相同多边形铺地板的一种特殊情况，我们可以先考虑“用相同正多边形铺地板”的情况，如图（4）、（5）、（6）、（（7），请大家观察一下“围绕着一个点，能铺满地板的正多边形的内角跟周角的关系？”（师在上图标出了围绕一点正多边形的内角的度数）

生l：老师在（4）、（5）、（7）图中，围绕一点所标出的内角加起来恰好是周角。

师：归纳得很好，你把我们刚才得到的结论一般化为“当围着某一点拼接在一起的若干个正多边形的内角的和能恰好构成一个周角，就能铺满地面”，这对于“用不相同的正多边形拼地板”也同样适用。

现在我们再来研究另一个问题：请同学们想一想用相同的正多边形铺满地面有几种？

生1：有正三角形、正方形、正六边形，不知道后面还有没有？

师：大家可以考虑一下正n边形的每个内角度数的范围。

生2：最小是正三角形内角60o，最大不知道是多少。

生3：小于180o，因为n-2比n小。

师：所以周角是正n边形每个内角倍数的范围是什么呢？

生1：最大360o/60o=6，最小不知道。

生2：最小要大于2，因为要大于360o/2=180o。

师：很好，那大于2，最大为6的整数有哪些呢？

生（齐）：3、4、5、6。

师：看一下我们上面表格最后一行中3、4、6已经有了，5到底可以不可以呢？

（沉默一会儿）

师：所以用相同的正多边形能铺满地板共有哪几种？

生（齐）：正三角形、正方形、正六边形。

最后让同学们做第57页的练习，之后讲评让学生能运用上面归纳的判断正多边形能否铺满地面。

三、教学反思

数学情境是含有数学知识和数学思想方法的情境，它能激发学生提出数学问题，也能为解决数学问题提供相应背景及情境。数学问题是以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题。本节课从现实生活中画出（1）、（2）、（3）图形，让学生观察图形，提出问题。数学问题的提出是学习数学很重要的环节，学生通过对数学情境的分析大胆猜想，提出一个数学问题。学生主要是通过联想，自主与合作型讨论、交流和手脑并用，充分想象和探索尝试，使当前问题形象化、具体化、符号化和形式化，从而建立了数学模型。

在教学中，通过列表格，观察表格的数据，归纳提出新的数学问题和寻找解决方法，利用归纳法有助于从数学情境中发现问题、提出解决问题的方法。通过教学用具“正多边形的硬纸板”拼“地板”，通过实际操作，让学生借助直观的活动来实现和反映其思维活动，由表及里地，对问题进行深入思考。

引导学生进行反思评价与探索，鼓励学生不断探索，让学生归纳出“围着某一点拼接在一起的若干个正多边形的内角的和能否恰好构成一个周角，就可以铺满地面”的一般性结论，有助于让学生形成新的知识结构与认知结构，逐步学会学习并不断强化问题意识与进取精神，增强创新意识。

［1］刘兼，孙晓天.数学课程标准解读（实验稿）［M］.北京：北京师范大学出版社，2002.

［2］管理河.高中数学教学中的数学情境与提出问题［J］.数学教育学报，2002（11）.

［3］余明芳，王钦敏.例谈高中数学探究性课题的选择与教学设计［J］.数学通报，2015（11）.

［4］夏小刚，汪秉彝.数学情境的创设与数学问题的提出［J］.数学教育学报，2003（2）.

（责任编辑：王钦敏）