“几何直观”

童红波

【摘 要】 “几何直观”是发现数学规律与解题思路的一个极其重要的策略。文章通过找寻教材里数与代数领域中应用几何直观的例子，把抽象的数学转化为形象的数学的基本思路有：转化为“点”的直观、转化为“线”的直观、转化为“面”的直观。从图形的直观特征发现数量之间存在的联系，以达到化难为易、化繁为简、化隐为显的目的。

【关 键 词】 几何直观；点；线；面

中图分类号：G623.56 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2016）27-0083-04

一、点的直观

点是图形的最基本元素，用点作基本单位得到的图也称为点子图。在数学中，点子是应用一一对应的思想对实物进行计数的一种方法，点子实际是对实物的一种抽象。点的直观，就是把数学思维的抽象性转化成点子图的形象性，帮助学生更好地理解。

1. 应用点的直观，利于数的认识

例如，人教版一年级上册《6和7的认识》中的点子图，就是用一个点子表示一个单位（这里指一个人），进而抽象出数6与7，见图1。

四年级下册“数的产生”中介绍这样的例子，在古代小石子、绳结、刻痕等都是一种点子的实物原型，见图2。

2.应用点的直观，计算化繁为简

例如，计算“1+2+3+4+…+99+100+99+98+…+3+2+1=？”时，很多学生看到题目无从入手，一个一个加太麻烦了，一时又找不出好的方法。这时，可以引导学生利用表象，用联系的观点把每个加数想象成一个个点，通过点阵的分布来找规律，最后求解。教师首先出示图3，请学生从上往下一层一层数，学生马上列出算式：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。

教师把图3旋转45°得到图4，学生马上想到总数为10×10=100。通过找规律，发现上题的计算方法是100×100=10000。

3.应用点的直观，模糊变为清晰

点子可以表示数值，如果加上点子色彩或形状变化，可以表示更加丰富的数量关系。例如，有一种溶液，加1杯水后，含盐量变为25%，再加1杯盐后，含盐量变为40%，求原来这种溶液的含盐量。

分析：这道题条件中没有原来溶液的容量，含盐量一会儿是25%，一会儿又是40%，数量关系看似十分繁杂，难以理解。用下面形象的点子表示其数量关系来引导学生思考就方便多了。

25%=，40%=，用○代表1份盐，用●代表1份水。

加1杯水含盐量为25%，也即，图示为○●●●

再加1杯盐后含盐量为40%，也即，图示为○○●●●

由上图很容易得出：1份盐、1份水刚好也是1杯盐、1杯水，如不加1杯水和1杯盐，原含盐量由图示应为○○●●●-○-●=○●●即原溶液的含盐量为，也即33.3%。

应用点的直观特点，可以把一些较复杂的数学问题简单化，把难以理解的数量关系变得一目了然，并激发学生解题的兴趣，提高解题能力。

二、线的直观

线的直观，也叫作画线段图，用线段表示某一种数量，线段的长度表示数量的大小，线段长度间的关系表示数量关系，从而直观地显示题意，以便寻求已知条件和问题之间的联系。

1.应用线的直观，促进算理理解

例如，一辆摩托车小时行驶18千米，1小时行驶多少千米？

学生根据已学过的数量关系“路程÷时间=速度”，正确列出算式：18÷，由此自然引出学习内容。

师（画出一条线段）：如果把这条线段看作1小时行的千米数，那么怎样表示小时行的千米数？

生：把这条线段平均分成10份，其中的3份表示小时行的千米数。

教师根据学生的回答画出线段图，见图5。

师：观察线段图，想一想怎样求摩托车1小时行的千米数呢？

（学生根据线段图进行思考，很快发现这道题的解题思路。）

生：根据“摩托车小时行驶18千米”，可以先求出摩托车小时行驶多少千米，算式是18÷3 = 6（千米）；求1小时行驶多少千米，也就是求6个小时行多少千米，用6×10 =60（千米）。

教师在线段图上标出小时行驶的路程，并板书算式18÷3×10。

师：18÷3能不能转化成乘法计算？根据乘法结合律，18××10还可以怎样计算？

教师继续板书：18÷=18÷3×10=18××10=18×= 60（千米）

最后，教师引导学生观察、分析等式：18÷=18×，归纳出整数除以分数的计算方法：整数除以分数可以转化为乘这个分数的倒数。

根据问题画出线段图，学生在线段图的帮助下很快发现了这道题的解决思路：先求出摩托车小时行多少千米，再求1小时行多少千米，列出算式18÷3×10。然后，教师对这一算式进行适当的形式化处理，使之成为既对学生具有启发作用又能体现整数除以分数一般算法的典型模型，学生顺利实现了理解基础上的算法建构。这一教学事实表明：线段图是沟通实际问题与数学算式之间的重要“桥梁”，利用线段图的直观效果，有效降低了学生探究算理、理解算理的难度。

2.应用线的直观，复杂变为简单

新教材提出“淡化数量关系、联系生活实际”的要求，很多教师却曲解了本身的内涵，因而很少讲题目中的数量关系，片面追求解决问题过程中的生活化，生怕被扣上教育理念陈旧的帽子。这样导致的结果就是，学生遇到稍有变化的题目就无从下手，更不用说举一反三了。其实，应用传统的线段图能很好地帮助师生理清数量之间的关系，清晰呈现解题思路，变复杂为简单。

例如，一捆电线用去全长的，又用去余下的，最后还剩下3.6米。这捆电线原来有多少米？

方法一：

师：这儿的和，单位“1”相同吗？

生：不同，以全长为单位“1”，以余下的为单位“1”。

师：你觉得怎样可以使题目中的条件更直观？

生：画出线段图。

学生尝试画图，教师整理后得到图6。

生：把第一次用去后余下的电线看作单位“1”，余下的（1-）是3.6米，求出余下的米数，算式是3.6÷（1-）=10.8（米）；再把全长看作单位“1”，已知全长的（1-）是10.8米，求出全长的米数，算式是10.8÷（1-）=14.4（米）。

方法二：

生：既然两个分数的单位“1”不一样，可以将全长统一为单位“1”，因为余下的是全长的（1-），所以用去余下的就是用去全长的（1-）×=。现在我们知道全长的（1--）是3.6米，见图7。

线段图是解决问题的思维“工具”。画线段图的过程是以问题的文字表述为“蓝本”，以已有的知识经验为基础的构造性活动。在数学教学中，运用线段图的目的不仅是帮助学生解决某些具体问题，提高分析问题、解决问题的能力，更重要的是使学生学会用“数学思考”。

三、面的直观

点是0维空间，一个点可以表示一个单位数量；线表示一维空间，可以反映数量的多少；面是二维空间，它既可以表示大小，又可以表示数量关系。面的直观是指把抽象的数学概念和复杂的数量关系转化为直观的平面图形，帮助学生建立概念，避免繁杂的计算，理清数量之间的关系。

1.应用面的直观，建立数学概念

许多数学概念比较抽象，教学中常采用化归、分类、比较的数学思想方法，也可运用图形提供数学问题情景。通过对图形中的情景进行分析，抽象出数学概念的内涵和外延，帮助学生建立数学概念。教学“因数与倍数”时，教师应用面的直观创设如下情景：

（1）摆长方形。

师：这里有12个正方形，你能摆成不同的长方形吗？

生：每排4个，摆3排；每排6个，摆2排；每排12个，摆1排。

师：请看图8，每排4个，摆3排，一共12个正方形。像这样，可以说4是12的因数，3也是12的因数。反过来，12是4的倍数，也是3的倍数。那么，根据图9、图10能说一说谁是谁的因数，谁是谁的倍数吗？

学生反馈……

师：那么，图8能用算式表示吗？

4×3=12 12÷3=4 12÷4=3

师：现在能结合算式，说说谁是谁的因数？谁是谁的倍数吗？

学生反馈……

师：图9、图10能列出算式吗？谁是谁的因数？谁是谁的倍数？

（2）辨析。

师：仍有12个正方形，每排5个，这是5的倍数吗？摆摆看，为什么？（见图11）

生：12个正方形，每排5个，会多出2个，所以12不是5的倍数。如果用算式表示12÷5=2.4，出现小数。即使不是小数，也会出现余数。

师：为了研究方便，以后探讨因数和倍数都是自然数，0除外。

根据面的直观，从数中想到形，通过不同摆法搭建不同的数学模型，从本质上理解因数与倍数的概念。

2.应用面的直观，避免繁杂计算

例如，教学“1---………-=？”对于小学生来说，由于逻辑推理有一定难度，学生不容易明白。如采用几何模型中面的直观进行教学，学生都会轻松掌握。将上面的算式转换成下面的几何模型图，把1个大正方形看成单位“1”（见图12），然后按次平均分，很容易得出“1---………-=”这个结论来。

3.应用面的直观，理清数量关系

在面的直观中，可以用平面内所包含的元素数量及其面与面的关系来理清数量间的关系。

例如，有30个桃子，3只猴子吃了2天，平均每只猴子每天吃几个？

学生尝试解决时，列出了好几个算式，但好多学生不明白其中的含义。为此，要求学生在长方形中表示各种算式的意义。学生经过思考交流，给出各种答案。

（1）先平均分成2份，再将获得的每一份平均分成3份，列算式30÷2÷3，见图13。

（2）先平均分成3份，再将获得的每一份平均分成2份，列算式30÷3÷2，见图14。

（3）先平均分成6份，再将获得的每一份平均分成2份，列算式30÷（3×2），见图15。

用长方形表示数量之间的关系，是在画线段图基础上的演变和创造。长方形是二维的，通过在二维图中的表达，让学生很容易理清猴子数量、天数与桃子数量之间的关系。

又如，望湖社区居委会举行“社区趣味运动会”，共有42人参加，其中28人参加飞镖项目，14人参加沙包项目，有10人同时参加这两个项目。这两个项目都没有参加的有多少人？

分析：用矩形平面部分表示全体运动员的集合，两个圆面表示参加飞镖项目和沙包项目运动员的集合，见图16。

两个圆面的重叠部分表示同时参加这两个项目的运动员的集合，根据已知条件，这个集合有10人。由此可知：参加飞镖项目而没有参加沙包项目的有28-10=18（人）；参加沙包项目而没有参加飞镖项目的有14-10=4（人）。因此，两个项目都没有参加的有42-（18+10+4）=10（人）。当然，还可以这样理解，28+14-10=32（人），42-32=10（人）。要求学生画出图形，并说说每个算式所表示的意思。

通过直观演示，让抽象的数量关系、思考路径形象外显，非常直观，易于学生理解。在此基础上，如果教师要教学三三重叠，学生理解也就并不困难了。

参考文献：

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[2] 王菘舟.王菘舟教学思想与经典课堂[M].太原：山西教育出版社，2005.

[3] 徐旭，邵汉民.中小学数学衔接读本[M].杭州：浙江科学技术出版社，2009.

[4] 陈旭远.新课程 新理念[M].长春：东北师范大学出版社，2002.

[5] 姜荣富.图形直观对学生解决数学问题影响的研究[J].小学青年教师（教学版），2006，（11）.

（编辑：易继斌）