回到概念：基于对称，理解分类——以“圆的分类讨论问题”习题课为例

☉江苏省苏州市阳山实验初级中学校孙凯

回到概念：基于对称，理解分类
——以“圆的分类讨论问题”习题课为例

☉江苏省苏州市阳山实验初级中学校孙凯

学生在小学阶段就学习过圆，但却是初中阶段最后研究的一种平面图形，什么原因呢？因为圆综合了七、八年级三角形、四边形中大多性质，特别是圆兼有轴对称和中心对称的性质，所以能否顺利解决圆的有关问题，往往意味着对整个平面几何都有深刻的理解和掌握.与圆有关的习题有很多都需要分类讨论，基于这样的现实，我们设计了一节“圆的分类讨论问题”习题课教学设计，供分享.

一、“圆的分类讨论问题”习题课教学设计

教学环节（一）：基于轴对称的分类讨论问题

例1（原创题）如图1，直线AB经过圆心O，弦CD经过圆心O.

图1

（1）圆O的对称轴是________；

（2）若CD=2cm，则圆O的半径为_____；

（3）若∠AOC=60°，连接BD，请指出△BOD的形状；

（4）在图1中作出点D关于直线AB的对称点D′，求证点D′在圆O上.

教学预设：对于第一问，要注意填写直线AB或者弦CD所在直线，由于对称轴是直线，如果只写弦CD是不恰当的.第二问主要考查识别经过圆心的弦CD就是直径，从而可以直接写出1cm.第三问中△BOD是等边三角形.第四问有简单的作图方法，比如以B为圆心、BD的长为半径作弧，交圆O于点D′；证明时注意要回到圆的定义，即连接OD，设法根据对称性证出OD′=OD即可.这里也是体会点D、D′关于直径对称的基本图形，为后续问题的探究积累经验.

同类变式：（2015年浙江义乌，改编）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心、5为半径的圆上.连接PA、PB.

（1）分析PB有没有最小值，如果有直接写出PB的最小值；

（2）小凡同学们练习（1）后发现：PB有最大值！你会分析PB的最大值吗？

（3）若PB=4，求PA的长；

（4）当∠PCB=60°时，求点P到直线AC的距离.

预设讲评：这是一道无图考题，先画出草图分析，如图2，当点P在直线AC上时，可以获得相应的PB的最小值和最大值，分别为2、8.这样也就解决了第一、二问，从图3来看，这里的P1、P2体现了关于圆心C的中心对称性质.

图2

图3

对于第三问，仍然需要基于对称的启示，考虑两种可能，如图3.

在图3中，首先确认四边形AP1BC为矩形，且点P1、P2关于直线BC对称，这样就容易求出AP1=3，AP2=（在Rt△AP1P2中）.

教学环节（二）：弦所对圆周角的分类讨论问题

例2△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，求∠ABC的度数.

教学预设：这道习题没有图，首先需要构造出可能的图形，如图4，可见∠ABC有两种可能，分别在优弧、劣弧上，故有两解：80°或100°.

图4

反思变式：这道习题有多种不同的变式可能如下所示.

同类变式1：在⊙O中，弦AC所对的圆心角∠AOC=160°，则弦AC所对的圆周角∠ABC是多少度？

同类变式2：半径为2cm的⊙O中，弦AB的长为2cm，则弦AB所对的圆周角度数是多少？

同类变式3：点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，求∠BAC的度数.

教学环节（三）：直径与圆的位置关系的分类讨论问题

（1）求点A、B的坐标；

（2）求原点O到直线l的距离；

（3）若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M的坐标.

图5

图6

教学预设：（1）求直线与x、y轴的交点时，分别令y与x为0，求出x与y的值，即可确定出A与B的坐标；（2）原点O到直线l的距离就是Rt△ABO斜边上的高，利用面积法即可求解；（3）需要考虑两种不同的相切位置，如图6，当M在B点的下方时，，即点M的坐标为；当M在B点的上方时，，即点M的坐标为

同类变式：（2015年山东烟台，18，3分）如图7，直线l∶y＝-x+1与坐标轴交于A、B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心、2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，求m的值.

图7

教学环节（四）：课堂小结与当堂检测

小结问题1：通过这节课，你觉得圆中有些问题需要分类讨论？

小结问题2：对于无图的图形问题，你觉得要注意些什么？除了在圆中无图题前容易出现分类讨论现象，在三角形或四边形的学习中，你是否也积累过类似的经验呢？举例说说.

当堂检测：（原创题）如图8，圆O中，直径AB、CD所成的锐角为40°.

图8

图9

（1）过点C作AB的垂线交圆O于点E，请指出弦CE与AB的位置关系；

（2）在（1）的条件下，连接OE，求∠DOE的度数；

（3）连接BD，求∠ABD的度数；

（4）若圆中有一点P，连接AP、AC，当∠BAP＝50°时，求∠CAP的度数.

设计意图：第一问主要复习垂径定理的基本图形；第二问主要是根据对称性质，发现∠AOE＝∠AOC＝∠BOD＝40°，于是∠DOE＝100°；第三问在等腰△BOD中思考，顶角∠BOD＝40°，于是∠ABD＝70°；第四问需要分类讨论，如图9，基于对称的启示，有点P1、点P2两种可能，特别是及时发现AP1⊥CD，这时再分析出∠CAP的两种可能的答案分别为20°、120°.

二、教学立意的跟进阐释

1.预设问题驱动，引导学生“回到概念去解题”

从上面的课例来看，我们预设了大量的习题，特别是原创题及后续的系列问题，意图通过这些问题驱动，引导学生“回到概念去解题”，即基于对称性质思考分类讨论，或者基于弦所对的圆周角有两种可能（在优弧、劣弧上），或者直线与圆相切时要考虑不同的位置关系等，让学生理解这些分类讨论的合理与自然，而不是人为制造麻烦.

2.预设追问讲评，促进思维向“四面八方打开”

事实上，除了圆具有多种对称性质，之前所学的平行四边形也是中心对称图形，特殊的平行四边形，如矩形、菱形还同时兼具轴对称性质，这些对称性质往往也会决定平行四边形的相关考题可能有多解出现，如果能引导学生从对称的高度认识和反思这些分类讨论问题的结构，那么将会对数学问题有深刻的理解和洞察，包括对数学的和谐性、一致性的认识也会达到一定的高度.当然，这也是我们在“课堂小结问题2”中安排学生“举例说说”的教学立意.

1.鲍建生，顾泠沅，等.变式教学研究［J］.数学教学，2003（1，2，3）.

2.章建跃.全面深化数学课改的几个关键［J］.课程·教材·教法，2015，35（5）.Z