数学课堂中的"技"、"艺"、"道"*

江苏省徐州高级中学　李贺

数学课堂中的"技"、"艺"、"道"*

《义务教育数学课程标准(2011年版)》中明确指出: "数学在应用方面需要大力加强,鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径,使他们经历知识的形成过程."可见,追求课堂的高效是每个老师都应关注的问题.《基于初中生学习风格与个体差异性的"做、学、教"学习模式的研究》课题组曾多次进行这方面的研究.笔者作为该课题的主持人,结合多年的教学经验,发现数学课堂上的"技"、"艺"、"道"的贯彻到位是应当大力提倡的,本文就以一节公开课"一次函数与二元一次方程"为例与同行进行交流,谈谈自己的做法和体会.

一、技:追求课堂的宽度和厚度

"技"即为手艺、才能、本领,笔者认为在数学课堂上可将其定义为基础知识、基本技能有没有使学生掌握到位.一节新授课,教师必须理解教学,理解教学目标,让学生经历提出问题---思考探究---分析解决的过程,才算真正把"技"贯彻到位.

以下为笔者在课堂上贯彻"技"的做法.

师:前面的课我们学习了一次函数图像的画法,下面请同学们在平面直角坐标系中,画出一次函数y=-x+3的图像,并在直线上标出任意三个点,写出相对应的坐标.

生:我找的三个点的坐标为(0,3)、(1,2)、(3,0).

师:请你将三个点的坐标换一种语言,转换成我们熟悉的形式,比如(0,3)可以转换成当x=0时,y=3.

生:(1,2)、(3,0)分别可以转换成当x=1时,y=2;当x=3时,y=0.

师:换个角度来研究,式子y=-x+3大家其实十分熟悉,虽然它现在是一次函数,但我们对它早就了解,以前它叫什么?

生:二元一次方程.

师:当x=0时,y=3满足于二元一次方程y=-x+3吗?当x=1时,y=2;当x=3时,y=0呢?

生:均满足.

师:不同的式子说不同的话,既然满足于方程,那我们要写成怎样的形式?

师:一次函数y=-x+3的图像上有多少个点?难道大家找的都是这三个点吗?有不同的点吗?(学生积极举手,说出自己所找的点的坐标)

师:这些点的坐标写成解的形式是方程y=-x+3的解吗?

生:是的!

师:你有什么发现?

生:一次函数图像上任意一点的坐标都对应着二元一次方程的一个解.

师:请写出方程y=-x+3的任意三个解,把这些解写成点的坐标形式,并在平面直角坐标系内标出这些点. (学生动手操作,并在平面直角坐标系内标出)

师:你发现这些点在哪儿?

生:点在直线上.

师:直线很多条,精确一些.

生:在一次函数y=-x+3的图像上.

师:如果再找几个解,写成点的坐标形式,你觉得这些点还在这条直线上吗?

生:是的!

师:以前二元一次方程的解是一组数,现在却能看得见了,你有这样的感觉吗?你又有什么发现呢?

生:以二元一次方程的解为坐标的点都在对应的一次函数的图像上.

师:能用一句通俗易懂的话来总结上面两个发现吗?

生:二元一次方程的解与相对应的一次函数的图像上的点的坐标一一对应.

师:请再画出y=x-5的图像,为了节省纸张,我们画在同一个平面直角坐标系内(为后面的活动埋下伏笔).

(学生画好后,仿照之前的发现叙述一次对应关系)

师:既然y=x-5与y=-x+3的图像在同一平面直角坐标系中,那就来研究一下吧,这两条相交直线上有无数个点,老师觉得有一点很值得研究,你觉得呢?

生:交点很有研究价值.

师:价值在哪儿?

生:它对应着方程组的解.

师:交点会是一个方程组的解吗?交点不就是一个点吗?

生(有些着急):讲错了,是交点的坐标.

师:请解释一下.

生:因为交点既在y=x-5的图像上,又在y=-x+3的图像上,所以这个点是公共点,按照之前的发现,公共点的坐标对应公共解,也就是说这个点的坐标既符合方程y= x-5,又符合方程y=-x+3,也就是公共解,两个方程的公共解就是方程组的解,所以这个交点的坐标就是对应的方程组的解.

分析:本节课的教学目标为知道一次函数与二元一次方程的关系,会用一次函数的图像求二元一次方程组的近似解.此片段的教学遵循学生"具体---抽象---具体"的认知规律,使学生在具体的情境中感知一次函数与二元一次方程之间存在的密切联系,再上升到一次函数的图像与二元一次方程组的解之间的关系,通过观察、分析等数学活动,以及连贯而巧妙的师生对话,抽象、概括出一系列结论,"逼"出了学生的思想,让学生的思维主动"跳"了出来,对知识的理解准确到位,可谓是"技"贯彻成功.

二、艺:追求课堂的效度和深度

"艺"即为准则、法度、限度,笔者认为在数学课堂上可将其定义为有没有将知识讲清楚.一节新授课,必须理解学生,尊重学生的认知规律,让学生清晰地认识到这节课的知识脉络,理清知识间的相互联系,才算真正把"艺"贯彻到位.

以下为笔者在课堂上贯彻"艺"的做法.

师:在同一平面直角坐标系中,两条直线一定有一个交点吗?

生:不一定,如果两个一次函数的图像有一个交点,即两直线相交,则二元一次方程组有唯一解,交点的坐标就是相对应的二元一次方程组的解;如果两个一次函数的图像有无数个交点,即两直线重合,则相对应的二元一次方程组有无数组解;如果两个一次函数的图像没有交点,即两直线平行,则相对应的二元一次方程组无解.

分析:此片段旨在反馈学生对之前一次函数的图像与二元一次方程组的解之间的关系理解是否全面,掌握是否深刻,该处学生的回答比书本的结论还要完整,充分体现了数学结论是在不断完善中形成的,学生给予的回答应当高度的赞赏.事实上,学生认识事物的顺序总是把特殊的事物作为认识的出发点,认识这些事物的具体属性,然后在此基础上抽象、概括,逐步扩大到认识同类事物一般的、普遍的本质,此环节是上一环节的延续,通过特殊去发现一般,再从一般回到特殊,以形成规律性的认识,最终再用一般去解释特殊、理解特殊,虽然此处只是一小段对话,却精彩无比,可谓准确到位贯彻"艺".

三、道:追求课堂的难度和高度

"道"即为本源、规律、境界,笔者认为在数学课堂上可将其定义为有没有"追魂",将知识进行拓展,达到知识的学有所用,学以致用.一节新授课,必须理解数学课的终极目标,寻找"灵魂"所在之处,达到知识的拓展,经验的迁移,才算真正把"道"贯彻到位.

图1

以下为笔者在课堂上贯彻"道"的做法.师:如图1,观察图像,方程组的解为_______.生:解为

师:解释一下.

生:通过上面的发现知道交点的坐标就是方程组的解.

师:我们上面讲的是二元一次方程组的图像解法,而这个图像所表示的好像不是一次函数吧?你又有什么发现?

生:如果两个函数的图像有交点,那么交点的坐标就是对应的方程组的解,可将其扩展为通过交点来求二元高次方程组的解.

生:用图像法试试吧!

师:对于消元法,虽然有时候很简单,但遇到不会解的方程你就无从下手了,而图像人人都可以试着画,多找一些点图像就会越精确,那我们用图像法试试看.

为了节省时间,笔者用几何画板展示了两个函数的图像,并清晰地找到了交点,显然方法是可行的.

分析:此片段旨在将一节课学到的方法和收获的经验灵活自如地运用,解决更多的问题,事实上,学生的学习过程不仅是一个接受知识的过程,而且也是一个发现问题、分析问题、解决问题的过程,通过这节课的学习,学生知道了二元一次方程的图像解法,类似的经验驱使学生去探索、自主研究更多的二元高次方程的图像解法,这就是今天学习的价值,达到了经验的迁移,追了本节课的"灵魂"所在,可谓成功贯彻"道".

四、"技"、"艺"、"道"的思考

从数学的内涵看,义务教育阶段的数学课程最基本的特点就是基础性、普及性和发展性,这是我们进行数学教学的基本出发点.坚持基础性,关注义务教育阶段中最为基础的基础知识和基本技能,即教会学生在学习数学和运用数学解决问题的过程中掌握最为重要的、必须掌握的核心观念与思想方法、基本概念和常用技能,此为一节课的"技";坚持普及性,关注不同的学生在数学上的不同发展,即遵循学生的认知规律,注重过程,讲清楚一节课的前前后后,此为一节课的"艺";坚持发展性,关注学生数学的终身发展,让数学学有所用,学以致用,即追根溯源,探其根本,此为一节课的"道".

从数学教学的角度看,数学是学习者个人建构的过程,他们带着自己原有的知识背景、活动经验和理解开始学习活动,并通过自己的主动活动,包括独立思考和与他人交流等,去建构对数学的理解,故教师应遵循九字方针:"技"而实、"艺"而清、"道"而远.在"技"的运用上,应该以夯实为根本宗旨,循序渐进,不要操作过急,多给学生时间和空间去思考、研究的机会;在"艺"的运用上,应该以理清为根本宗旨,正反对比,环环相扣,多给学生联想、叙述的机会;在"道"的运用上,应该以深远为根本宗旨,探则深究,挖到根本,多给学生运用、拓展的机会.

当然,"技"、"艺"、"道"的全面贯彻需要教师很强的课堂驾驭能力,所以需要长期的研究和探索,这样才能更好地让学生在课堂中一步步将知识内化,从而认识数学的特点,把握其规律,真正让课堂"高效"起来.

*本文系江苏省教育科学"十二五"规划2013年度立项课题《基于初中生学习风格与个体差异性的"做、学、教"学习模式的研究》(课题批准号:E-c/2013/041)的阶段性成果.