线性规划问题最优解求法及数据分析

陶志雷（安徽省淮南一中）

线性规划问题最优解求法及数据分析

陶志雷
（安徽省淮南一中）

在中学数学新课标中，对线性规划的求解方法及相应结果的分析提出了一定的要求。主要讨论两个变量线性规划问题的最优解求法，并举出生活中的例子加深理解。通过对结论中的数据进行分析，反映出各个量在实际问题中的地位和作用。

数学问题；图解法；函数

线性规划的应用在大学数学分支运筹学学习中占据很大的比例，它可以帮助人们有效地进行科学管理。它是运筹学的一个重要部分，也是现代科学管理的重要手段之一。求目标函数在约束条件下的最值问题，统称为LP问题，使目标函数取得最值的解叫最优解。

本文主要是针对中学数学中线性规划问题的类型，讨论在目前中学现有解题方法图解法的基础上，对实例进行分析并用图解法求出最优解，并在最优解的数据基础上讨论某些变量值改变时相应结果的变化。

图解法的一般步骤是：（1）建平面直角坐标系；（2）找到可行的区域，作目标函数等值线；（3）移动等值线到可行区域的边界，知道函数与可行区域的交点就是最优解。

例1.解线性规划：

首先，观察题目要求，在这个问题中目标函数是z=700x+1200y，要求在约束条件（1）4x+5y≤200；（2）3x+10y≤300下求出最大值。

我们已经知道题目的要求和目的，根据题目的约束条件画出图1。

图1　

结论分析：（1）如果现在改变例1中的约束条件，将原来约束条件的小于等于全部改为大于等于，这时可行域由原来的封闭区域A变为无穷区域B，此时maxz无最大值解，也就是说z可以取得无穷大。但是如果将目标函数由求最大值改为最小值，约束条件不变，那么（20，24）就是minz的唯一最小值解。

（2）将对应x=20，y=24代入不等式，发现约束条件正好变为等号，说明资源x，y是短缺的，从经济角度考虑的话，就是可以通过继续增大x，y，从而增加产出z。

（3）如果第一个约束条件改变为4x+5y≤201，通过画图可发现对应最优解变为（20.4，23.88），对应z值增大136，则可认为136是约束条件：（1）对应资源对目标函数的边际贡献。于是可以推出当4x+5y≤201时目标函数z的值就相应增加1360。同理，可以找出约束条件（2）的边际贡献。

例2.某地需要甲、乙两种优质桌，每张桌子要木料和油漆两个步骤才算完工。甲乙分别用1h和2h做成一张桌子，要3h和1h油漆桌子。木工和油漆工工作不多于8h和9h，工厂造一张甲乙桌分别获利2000元和3000元，现工厂想要获得最大利润，每天应生产甲乙桌子各多少张？

注意：在列本题的模型时有一个小小的技巧，就是对单位的处理上，如果将此处的2000元和3000元分别处理为2千元和3千元，那在画等值线的时候能够大大地简化计算。

解：设工厂每天生产甲类桌子x张，乙类桌子y张，则x、y满足条件：

由于本题中要求，x，y取整数，所以也是整数规划类型，但是我们也可以将整数约束条件先去掉，做出图2：

图2　

解法（2）：在如上可行域中找出所有的整数解（1，0），（2，0），（3，0），（1，1），（1，2），（1，3）（2，1），（2，2），（2，3），然后比较对应z值大小可以直接求出最大值点位（2，3）。

结论分析：将变量值代入不等式，发现约束条件正好变为等号，说明资源x，y是短缺的，从经济角度考虑的话，就是可以通过继续增大x，y，从而增加产出z。但由于此题中的变量要求取整，故对应资源只增加单位1时对整体结果z未必会产生影响。另外，在讨论约束条件时，要将x，y当成有相互制约关系的整体变量讨论，否则分别讨论就容易得出错误结论。

［1］钱颂迪.运筹学［M］.清华大学出版社，1990：9-37.

［2］胡运权.运筹学基础及应用［M］.2版.哈尔滨工业大学出版社，1993：13.

·编辑李建军