有趣的“换钱”游戏

张泊宁

题目:设想甲有100元钱,乙也有100元钱.若甲将手中的钱的先给乙,甲就成了50元,则乙就成了150元.随后乙将手中的钱的给甲,乙就成了75元,则甲就成了125元……依此类推.请问:当交换到什么程度时,双方手中的余额趋于稳定?如果每次交换的比例是､呢?若呢?

思路探究:甲乙双方开始交换前,第一次甲手里有100元钱,乙手里有100元钱.第一次交换后,甲50,乙150;第二次,甲125,乙75;第三次,甲62.5,乙137.5;第四次,甲131.25,乙68.75;第五次,甲65.625,乙134.375;第六次,甲132.812 5,乙67.187 5……观察这些数据,甲乙之间的比例似乎接近于0.5即1∶2,前六次分别是:0.333 3､0.600 0､0.454 5､0.523 8､0.488 4､0.505 9;而甲乙总和始终为200.由此试着假设最终甲乙二人分别为和,满足甲乙比例为1∶2的条件.此时,显然当乙将手中的钱的给甲后,甲手中的钱就是+=,而乙手中的钱则为总数的,说明这种交换趋于稳定.

过程分析:先用1-==1∶2,再用1+2=3(份),可以知道这些钱可分为3份,乙可占其中的2份,甲可占其中的1份,算出是乙,是甲.×200==133.333 3(元)､200×==66.666 7(元)

接下来考虑的情形:甲乙双方开始交换前,第一次甲手里有100元钱,乙手里有100元钱.第一次交换(甲将手中的交给乙)后,甲有66.666 7,乙有133.333 3;第二次,甲111.111 1,乙88.888 9;第三次,甲74.074 1,乙125.925 9;第四次,甲116.049 4,乙83.950 6;第五次,甲77.366 3,乙122.633 7;第六次,甲118.244 2,乙81.755 8……观察这些数据,甲乙之间的比例似乎接近于0.666 7即2∶3,前六次分别是:0.500 0､0.800 0､0.588 2､0.723 4､0.630 9､0.691 4;而甲乙总和始终为200.由此试着假设最终甲乙二人分别为和,满足甲乙比例为2∶3的条件.此时,显然当乙将手中的钱的给甲后,甲手中的钱就是+=,而乙手中的钱则为总数的,说明这种交换趋于稳定,即甲有×200=80,乙有×200=120.

由此可推出时的结果.设:甲开始的钱为A､乙开始的钱为B,那么甲乙总共的钱为(A+B).根据前面的推导过程分析,可知当双方按照比例进行交换时,甲为､乙为,此时甲乙双方的钱数趋于稳定,双方的比例为(n-1)∶n.反之亦然.

这个题目说明在计算过程中要注意观察和分析,及时从公式的角度进行推算.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文