《丰富的图形世界》复习导学

万大燕

一､复习目标

1. 能在具体情境中认识圆柱､圆锥､正方体､长方体､棱柱､球等几何体,并能用自己的语言描述它们的特征.

2. 了解棱柱､圆柱､圆锥的侧面展开图,能根据展开图判断和制作简单的立体图形.

亲身经历切截正方体的过程,体会面与体的转换,提高动手操作的能力.

3. 会从不同方向观察同一个物体,能识别简单物体的三种视图.会画正方体及简单组合的三种视图,并在小正方体内填上表示该位置小立方块的个数.

4. 能在具体情境中认识多边形,拓展思维空间.

二､重点难点

1. 本章重点:(1)掌握简单的棱柱､圆柱､圆锥的侧面展开图,特别是正方体的展开与折叠,根据所给的平面图形判断是否能折叠成正方体.

(2)识别简单几何体的三种视图.画一个简单几何体的三视图.根据所给几何体选择主视图､左视图或俯视图.

(3)将一个多边形分割成三角形,探究其中的规律.

2. 本章难点:能由实物的形状抽象出几何图形,由几何图形想象出实物的形状,进行几何体与其三视图､展开图之间的相互转化是本章的学习难点.

三､要点回顾

1. 常见的几何体

常见的几何体有圆柱､圆锥､正方体､长方体､棱柱､球等,其形状如图1,请同学们分别指出图1中各图的名称.并注意生活中的实物与所学的几何体对应起来,如水桶､水杯等可以看做圆柱.

另外,棱柱有直棱柱和斜棱柱,我们只讨论直棱柱,简称棱柱.如:正方体和长方体都是直棱柱.

2. 平面图形

3. 展开与折叠

(1)展开:将某些几何体的表面沿某些棱剪开,可以展成一个平面图形. 学习时可尝试用不同的方法展开同一几何体,但剪开的方式不同,展开成的平面图形也就不同.

(2)折叠:把一个平面图形经过折叠围成一个几何体. 但并不是所有的平面图形都能经过折叠围成一个几何体.

如图5,试判断其中的平面图形能否折叠成一个几何体,若能,将折叠成的几何体的名称填在横线上.

6.请画出图6的三视图.(同学们自己动动手)

四､思想方法总结

1. 观察与动手操作是研究数学的重要方法,本章自始至终贯穿着这样的方法.在学习过程中要注意多联系已有的生活经验和实物,根据需要可以画一画､剪一剪､折一折､切一切､看一看､想一想,通过观察与动手操作可以更好地感受空间图形与平面图形之间的关系.

2. 学习本章所介绍的常见几何体,重在直观感知,不要记忆概念的形式化表述.通过实物认识,如长方体､棱柱等图形,能用自己的语言描述它们的有关特征,并经历从现实世界中抽象出几何图形的过程,感受图形世界的丰富多彩,能对几何体进行简单的分类.

3. 运用从特殊到一般的方法,根据各个特殊的､简单的棱柱底面多边形的边数,可以发现并归纳其点､线､面的个数关系.

4. 本章还渗透了“类比”､“具体与抽象”､“借助平面图形认识几何体”等思想方法.

五､例题剖析

例1 下列图形中,都是柱体的一组是().

解析:柱体包括圆柱体和棱柱体,现在棱柱体指直棱柱.选C.

直棱柱体的上下底面相同,侧面是长方形;棱锥的侧面是三角形.掌握好各类图形的特征,就能轻松辨认.但组合体在辨认时要注意是由哪几类组合而成.

例2 请将图8中的6个几何体进行分类,并说明它们是由哪些面围成的?

分析:几何体的分类,一般可参照知识结构来区分(如:柱体､锥体､球体等).

解:图中的(1)､(2)､(6)是柱体.其中(1)是长方体,它由6个长方形的平面围成;(2)是圆柱体,它由2个圆和1个曲面围成;(6)是棱柱体,它由2个三角形平面和3个长方形平面围成.(3)､(4)是锥体.其中(3)是圆锥体,它由1个圆和1个曲面围成;(4)是棱锥体,它由4个三角形平面围成.(6)是球体.它由一个曲面围成.

将几何体分类,方法并不唯一,只要能说明分类的理由即可.但要注意,按某一标准分类时,要做到不重不漏,分类标准不同时,分类的结果也就不尽相同.

例3下列图形中,不能表示长方体平面展开图的是().

解析:要判断哪一个图形不能折叠成长方体,需要判断所给图形中每个小长方形是否都有唯一的对面,如果所给图形中的小长方形的对面不唯一或没有对面,就不能通过折叠围成长方体.观察所给4个选项中的D,其图形中下面的两个小长方形找不到对面.故选D.

与展开和折叠有关的试题,多以选择题的形式出现,解决此类问题也可采用排除法.

例4 下面4个图形都是由相同的6个小正方形纸片组成的,小正方形上分别贴有北京2008年奥运会吉祥物福娃(贝贝､晶晶､欢欢､迎迎､妮妮)的卡通画和奥运五环标志,如果分别用“贝､晶､欢､迎､妮”五个字来表示五个福娃,那么折叠后能围成图9所示正方体的图形是().

解析:解题时首先确定能否折叠成正方体,经观察可知选项D中的图形不能折成正方体;然后再对选项A､B､C加以分析,由A､B可知“欢”的对面是“妮”,折起来的正方体不符合要求,所以折叠后能围成图9所示正方体的图形只能是选项C所给的图形.

本题以奥运会吉祥物福娃为背景,考查了同学们的空间想象能力及动手操作的自主探索能力.

例5 根据图10所示的立体图形的“三视图”说出立体图形的名称.

解析:把三个视图结合起来,综合考虑不难发现,4个立体图形依次是:(1)圆柱;(2)正三棱锥;(3)长方体;(4)正六棱柱.

根据“三视图”来描述立体图形的形状时,需要将三个平面图形结合起来,整体分析并进行空间想象,有利于形成整体意识､空间观念及综合分析能力.此例反映了空间立体图形与平面图形的相互转化关系.在学习中,同学们应多实践,多观察,学会从不同的角度看待事物.

例6 图11表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数,那么该几何体的主视图为().

解析:根据俯视图中最左边一列小正方体的个数是4,所以主视图中左边一列的小正方形有4个;俯视图中间一列小正方体个数为1､2､3,因此主视图中间一列的小正方形为3个;俯视图中最右边一列的小正方体的个数是2､1,所以主视图右边一列的小正方形是2个.故选C.

解决本题的关键是由俯视图中标明的小正方体的块数想象出原图,再判别其主视图.

例7 图12是几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图,则搭成这个几何体的小正方体的个数是.解析:从俯视图可以直接确定最底层有3个小正方体,再由主视图看,可以判断最左边有1层,即图13俯视图的A中只有1层;主视图的中间和右边都是2层,可以判断图13俯视图的B､C各有2层.所以小正方体的个数为5.

解决此类题目可先由俯视图确定最底层有几块,再由主视图和左视图判断俯视图的各个位置上各有几层立方体,标注出来,相加即可确定搭成这个几何体的小正方体的个数.

例8 将直角梯形绕直线l旋转一周,可以得到图14立体图形的是().

解析:本题考查了面与体之间的关系——面动成体.将选项中的图形绕所给直线旋转一周,想象它所扫过的区域的形状即可判别只有选项B中的图形旋转后能得到图14的立体图形.故选B.

注意常见的可由平面图形旋转而成的空间图形:

(1)圆柱可由长方形绕它的一条边旋转一周而成;

(2)圆锥可由直角三角形绕它的一条直角边旋转一周而成;

(3)球是半圆绕它的直径旋转一周而成;

(4)圆台是直角梯形绕直角腰旋转一周而成.

例9用一个平面去截一个正方体,如果截去的几何体有4个面,请回答下列问题:

(1)截面一定是什么图形?

(2)剩下的几何体可能有几个顶点?

解:(1)如果截去的几何体是一个三棱锥,那么截面一定是一个三角形.

(2)剩下的几何体可能有7个､8个､9个､10个顶点,如图15.

本题是典型的开放性问题,具有很强的挑战性.解题的关键在于抓住“截面为三角形”这一特点,于是可联想到上述各种不同情况.

例10 图16是正方体木块,把它切去一块,得到图17､图18､图19､图20所示的木块.

(1)我们知道,图16的正方体木块有8个顶点､12条棱､6个面,请你将图17､图18､图19､图20中木块的顶点数､棱数､面数填入表1.

(2)表1中各种木块的顶点数､棱数､面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律,请你试写出顶点数x､棱数y､面数z之间的数量关系式.

分析:(1)只要将图 17､图18､图19､图20各个木块的顶点数､棱数､面数数一下就行.数的时候要注意:图中不能直接看到的那一部分不要遗漏,也不要重复,可通过想象计数,正确填入表内.(2)通过观察找出每个图中“顶点数､棱数､面数”之间隐藏着的数量关系,这个数量关系用公式表示出来即可.

解:(1)见表2:

(2)规律:x + z - 2 = y.

看懂题是解决本题的关键,通过观察,正确填表,是本题的重要一步.第(2)问也是观察,注意观察数据间的变化规律,重点考查同学们的空间想象能力.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文