从数学本质出发 创设问题情境

【摘 要】高效的课堂教学离不开有效的教学设计，而有效的教学设计的前提是把握教学内容的本质。分式与整式的本质区别在于给定字母值，代数式未必有值。把握好这一点，再引入概念、深化对概念的理解，进而掌握新知、巩固提高，简约高效的教学设计也就水到渠成了。

【关键词】分式;数学本质;教学设计

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2016）03-0029-03

【作者简介】徐丹阳，浙江省温州市第二中学（浙江温州，325000）学科组长，浙江省特级教师，正高级教师;浙江省骨干高级访问学者、名师工作室指导师，浙江省教育厅课程分析教材编写成员，温州市首届名师，浙江师范大学、温州大学研究生导师。

分式与整式是两种不同的代数式，“分式”一课的有效教学需要做到三点：一是突显分式与整式的区别，突出分式的本质，让学生观察到分式的特征，得出分式的概念;二是以自然、简洁、明了的方式，让学生的思维经历从分数到分式的一次螺旋式上升，感受从具体到抽象、从特殊到一般的认识过程;三是让学生通过研究解决问题的过程，探究分式有意义的条件。为此，应当根据学生需要，通过设计目的性明确的简约有效的问题情境，达成教学目标。

一、概念引入

创设两个教学游戏，引出分式的概念。

【游戏1】①写一个代数式满足：当x=1时，代数式的值为2。②写一个代数式满足：当x=1时，代数式的值为2;并且，当x=2时，代数式的值为1。③写一个代数式满足：当x=1时，代数式的值为2;并且，当x=2时，代数式的值为1;当x=3时，代数式的值为。

对于①，许多学生会想到是2x或x+1。对于②，学生一般会思考一会儿，思维在整式范围内转悠，兴奋地得出3-x，也会有少量学生发现，此时就可以进入下一个游戏。如果没有出现分式，就继续第三个问题。

【游戏2】当x=-3，-1，2，0…时，抢答求x+1，2x，3-x，的值。

学生将x的值代入以上四个代数式求值，在兴奋抢答中，纷纷掉入圈套，大量出现当x=0时=0的错误。但很快会有“识货”的孩子“发现真理”而兴奋宣布：不对！分母是零！无意义！由此引入分式的概念：两个整式相除，并且除式中含有字母，像这样的代数式就叫分式。这类式子的特征是字母的某些取值使代数式无意义，原因在于分母含字母，取某值时，会出现值是零的情况。

【设计意图】综观当下的诸多教材，对于“分式”一课均采用取材于生活实际，即列举大量分式实例，通过列表达式的形式引入，体现数学来源于生活又服务于生活的特点，这种做法固然是合乎大多数教师的口味，但对于初一学生，却没有什么吸引力。而我上面的设计从培养函数意识的角度，让学生在初步感受对应关系中，亲自组建整式，并在整式不够用时，让分式自然地脱颖而出。更可贵的是，教师完全把发现的过程交由学生，让学生一起来思考，不同层次的学生都有不同层次的发挥，这对培养学生提出问题和解决问题的能力无疑起到了很好的作用。

与平常的列举大量分式实例引入分式相比，同样是获取不同代数式，但效果大不一样。一方面，这样简约的设计，符合学生的游戏挑战心理，不断升级的难度激起学生克服困难的极大热情，而每一次的成果又能促使其对下一轮挑战抱有更大的热情。而平常的列举式引入，是一种零散的平淡无奇的无目的的工作。另一方面，从结果上看，列举大量分式实例引入，尽管学生眼前是许多分式，但与学生已有经验并无关联。而本设计由字母与代数式数对的取值不同，引起代数式表达式的变化，让学生看到分式奇妙一角，紧接而来的代数式求值，让学生清晰地走进整式与分式的分水岭——存在一个x的值使得代数式无意义！打破原有的“给定字母值必有代数式值可求”的经验，这正是“分式与整式”本质的区别，也是最需要学生领悟的逻辑关系处。

笔者特别注重教学引入环节的教学设计，认为课堂教学的引入需要考虑下列三个方面：1.如何引导学生思考;2.思考什么内容;3.从何入手。本节课的教学将培养学生的函数意识作为教学的起点和核心点，设计求值游戏以学定教。唤起学生由直觉思维走向自觉思考，简约不简单。学生思维从无序到有序的发展过程，是享受数学美的过程，通过深入思考，唤起了学生自觉提出问题的积极性，从而进入“為什么代数式无意义”的探讨。我们知道研究问题比解决问题更重要，以上精心设计的“引入环节”，所激发的学习兴趣和探究欲望，在相当程度上决定了整节课分式的学习效益和效率。

二、概念理解

加深学生对分式概念的理解，要从两个方面进行。一是设计探究活动让学生类比分数和分式，进而体会分式的意义;二是让学生将分式纳入已有的多项式、单项式、整式、代数式等知识结构中。

探究活动1：已知老师原地起跳，3秒钟跳的高度为46厘米，t秒钟跳的高度为59厘米，5秒钟跳的高度为h厘米，①求老师跳高的平均速度;②若t=4，h=75，那么老师跳了m秒，会跳多高呢？

根据上述条件，对于问题①，学生会很自然地列出代数式;;，此时不应当满足于此，而应让学生辨别哪些是分式，以此巩固分式的概念。对于问题②，学生会发现每个分数都近似于15，即老师的平均速度约为15厘米每秒，m秒跳的高度是15m厘米。所以，老师的平均速度可以表示为分式：。这里要提醒学生一个重要的结论：分式比分数更具有一般性。

探究活动2：合作讨论多项式、单项式、整式、代数式和分式的结构关系。引导学生画出如下的关系图。

【设计意图】由于分式是分数的代数化，所以其性质与运算是完全类似的。因此，我们的设计十分注重观察、归纳、类比、猜想等思维方法的应用。如：在分式的探索过程中，采用了观察、类比的方法，通过观察、猜想让学生在讨论、交流中获得分式的概念，分式表达式也是通过抽象、概括获得的。这样，既渗透了常用的数学思维方法，又培养了学生的数学合理推理能力;更重要的是学生在获得这些知识时，形成了自主探索、合作交流的学习习惯，这是非常重要的。

经历本环节后，学生能感受分式与分数的联系与区别，清楚分式源于分数，又比分数更具有一般性。紧接着的任务是体会分式的模型思想，进一步掌握分式成立的条件。

三、掌握新知

上面的教学过程中已经突出了分式的特点，下面设计5道例题来研究分式成立的条件。

例1：下列的式子中哪些是整式，哪些是分式？

例2：请在括号内添加一个代数式，使得原式成为分式。

例3：成立有条件吗？

例4：对于分式，（1）当x取什么值时，分式有意义？（2）当x取什么值时，分式的值为零？

例5：巩固练习（1）当x  时，分式有意义;

（2）当x  时，分式有意义;

（3）当b  时，分式有意义;

（4）当x  时，分式有意义;

（5）当x、y满足关系  时，分式有意义;

（6）当x=  时，分式的值等于0。

特别声明：在本文中，若没有特别说明，分式的字母取值都不使分母为零。

【设计意图】例1目的是初步让学生学会从形式上判断分式。例2则紧抓分式的分子与分母的共性与异性，回归概念，揭示分式的本质属性。例3是对上面两个例题的解后反思与总结。例4强调当分子等于0且分母不等于0時分式的值为0。例5通过变换问题的背景，培养学生的应变能力。

四、巩固提高

至此，分式的基本知识就教学完毕了，下面需要设计例题巩固知识。对于例题的设计可以开放条件和结论让学生进行仿写。例如：对于分式，可设计的问题有：①当x取不同值时，对应分式的值是多少？②当x为何值时，分式的值是1？仿照于此，可以让学生就分式提出问题。

分式最终是表示具体情境中数量的模型，为了体现这一点，还应当设计应用题通过实际问题来巩固分式意义。

例如，甲乙两人从一条公路的某处出发，同向而行，已知甲每小时行a千米，乙每小时行b千米（a>b）。如果乙提前1小时出发，那么甲追上乙需要多少时间？若取a=b，此时表示的实际意义是什么？

【设计意图】以上练习巩固针对性强，通过仿写来开放条件和结论，不仅可以加深学生对基础知识的理解，使学生熟练地掌握解决这一类问题的方法，为运用分式概念提供范例，其解法体现了解决这一类问题的通性通法，蕴含了解决问题的基本数学思想和方法，能做到高效练习。

本课教学通过培养学生的函数意识，凸显教学的最本质内容，有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从分式与整式的本质区别中突围。在给出分式的概念时，通过观察、归纳，抓住分式的实质，总结出整式与分式的异同，通过设计含有矛盾冲突的问题，突出数学问题的本质，得出分式的概念，讲清楚学生观察到的分式特征;在知识归纳与方法提升方面，旨在养成有效的思维习惯，不断实践，给所有学生以表达的机会，学会总结提炼，这些都是本课的亮点。

在教学过程中，教师的主要作用是组织学生开展有效的探索，其目的是让学生自然地、自觉地把分式新知纳入到原来的知识体系中，完善认知结构。活动的目的是让学生通过经历探究、思考、抽象、预测、推理、反思等过程，逐步达到对分式概念的意会、感悟，并能积累解决和分析问题的基本经验，将这些经验迁移运用到后续的数学学习中去。

学生在这样的学习过程中，不断发现问题、提出问题，进而不断解决问题。学生的学习实现了主动高效。在以上问题情境的创设中，类比的思想被广泛应用，学生不断地用类比思想去探索新知，在学习分式时，用分数来类比，这个类比的过程并不是简单地照搬照抄的过程，而是一个让学生感悟的过程，是从相似点中“悟”到不同点。

总之，唯有深度解读分式概念，教师摆脱以课堂讲授新知为主、学生被动听讲的局面，用较大的精力投入教材解读，让课堂中有愉悦高效的学习情境，满足学生对数学课堂的需求，方能达到简约高效的课堂教学的目标。