数学教学：站在思维的制高点上

【摘 要】数学教学应注重对知识背后的“知识”的构建和重新“组织”，即注重在思维体系的构建上做文章。数学教学必须注重数学的思想和观念，突出数学的思维和本质，这样学生的学习才是触及事物本质的学习，才是完整的、准确的、丰富的、深刻的学习。学生也只有建立起了自己的思维体系，才能更好地驾驭知识的学习。

【关键词】数学教学；数学思维；教学案例

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2016）46-0024-03

【作者简介】陈柏良，浙江师范大学特级教师工作流动站（浙江金华，321004）教师，浙江省绍兴市高级中学（浙江绍兴，312000）教师，浙江省特级教师。

一直以来，在数学课堂上，很多教师总是习惯于在知识体系的构建上做文章，教学常常在一个知识平面上延展，追求宽泛的“知识面”，而不注重对知识背后的“知识”的构建和重新“组织”。而众所周知，每个学生都有自己的认知结构，学到的知识都会储存于自己的头脑中，并按一定的方式排列。如果教师平时的教学习惯于做知识“堆砌”的文章，那么，学生储存于头脑中的知识，大多是按水平的方式进行排列，表现为储存的知识显得比较零散和孤立。

如果教师的教学注重对知识背后的“知识”的构建和重新“组织”，即注重在思维体系的构建上做文章，那么学生储存于头脑中的知识，大多是按层次的方式进行排列，储存的知识有很清楚的条理性和逻辑性，既有原理、方法这种思维层面上的上层知识，又有具体例证的下层知识。显然，数学教学，需要教师注重在思维体系上做文章。

一、对数学学科教学的认识

数学教学是数学思维活动的教学，数学教学必须注重数学的思想和观念，突出数学的思维和本质。这里所说“数学的思想”，不同于我们一般在讲的四种主要的数学思想方法（即函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想），而是指数学的基本思想，是数学的产生与发展必须依赖的思想。

东北师范大学史宁中教授研究认为，数学的基本思想主要是抽象、推理和模型，这也是学过数学与没有学过数学的思维差异。所谓“抽象”，即从现实到数学，包括研究数量与数量关系和图形与图形关系。通过抽象得到研究对象的概念，研究对象的关系，运算方法和运算法则、度量方法。抽象体现数学具有一般性。学过数学的人抽象能力强。所谓“推理”，即从数学到数学，得到并且验证数学的结果：命题。推理体现数学具有严谨性。学过数学的人推理能力强。所谓“模型”，即从数学到现实，用数学的语言讲述现实世界的故事。模型体现数学具有应用的广泛性。学过数学的人会理性思考。

这里提的数学的观念，指数学的课程观念。“观”即“看法”，“念”即“想法”，即对数学的“课程性质：我教的是一门怎样的课？课程目标：它能发挥怎样的育人功能，在学生发展中所起的不可替代的作用是什么？课程实施：如何教这门课？应采取怎样的教学策略？课程评价：这样教在多大程度上实现了它的育人功能？”的看法和想法。

数学教学注重数学的思想，就是要求教师在课堂教学中主要完成三件事：抽象、推理和模型。对于推理，著名数学家波利亚强调既要教正规的演绎推理，也要教非正规的、似真的合情推理。他指出，数学思维不是完全“正规的”，它不仅涉及公理、定义和严格证明，而且还包含许多别的方面：从观察到的情况得出结论、归纳推理、类比推理；在具体情况里辨认数学概念或从具体情况进行数学抽象。数学教师应不失时机地使他的学生熟知这些相当重要的“非正规的”思想方法。数学教学注重数学的观念，就是要求学生除了获得必要的数学知识，掌握必要的数学技能、原理和方法，体验和发展必要的情感、态度、价值观之外，还要获得基本的数学素养，会看问题、会想问题、会做事情。

数学教学突出数学的思维和本质，就是要求教师在课堂教学中要重视教思维，包括思维的严谨性、灵活性、深刻性和创造性。要强调数学的本质，课堂教学要体现“数学味”，就要充分关注数学知识的内在联系，数学规律的形成过程，数学思想方法的提炼，数学理性精神（依靠思维能力对感性材料进行一系列的抽象和概括、分析和综合，以形成概念、判断或推理，这种认识称为理性认识。重视理性认识活动，以寻找事物的本质、规律及内部联系，这种精神称为理性精神）的体验等方面。这样的数学课堂，学生的学习才是触及事物本质的学习，才是完整的、准确的、丰富的、深刻的学习，即深度学习。

二、我们需要怎样的数学课堂

有这样一个游戏：桌上放置三列牌，每列张数分别为3，5，7。甲乙两人轮流在任一列中取任意张牌（每次只能在某一列中取），只剩1张牌留给对方取时为胜。

我曾组织甲乙两名学生玩这个游戏，任凭他们按规则随机取牌，在取牌的过程中，双方开始琢磨怎样才能取胜，每悟出一点，我就及时鼓励，让他们继续游戏，他们不断地相互总结怎样才能取胜，我不断地肯定和鼓励，他们不断地表述各自的心得，列举出了许多取胜的“残局”。随着参悟的增多，概括出了取胜的取牌方法和原理。

我突然想，我们的数学课堂不也应该如此吗？课堂上，教师将教学内容作为一个活动过程来加以分析和设计，在这个活动过程中，学生始终处于一种积极的参与状态，用内心的体验与创造来学习数学，通过自己的思考建立起数学理解力，教师的任务就是为学生提供自由广阔的天地，听任各种不同思维、不同方法自由发展。在此过程中，教师以“明白了什么”“还有没有其他发现”等来鼓舞学生不断地“再创造”，让学生把各种创造“成果”（哪怕只是一点点）都呈现出来，再与学生一一“分享”和“甄别”，岂不妙哉！即使未能完成既定的教学任务，在我看来，学生的思维得到了很好的“锻炼”，也就不失为一堂好课。

一般来说，数学课堂教学设计要考虑三条线索：其一，数学知识线索，即数学知识发生和发展的“演绎过程”，也即知识的“逻辑链”；其二，学生的认知线索，即学生对新知的“建构过程”，也即学生的“思维链”；其三，教师的教学组织线索，即教师为实现教学目标所采用的课堂教学“组织形式”。这三条线索或明或暗，交融在一起，其中教学组织线索应成为一条主线索。教学的主体是学习的学生，而非教学的教师，教师要强化“幕后”意识，真正让自主、探究、合作成为学生主要的学习方式。

三、数学课堂重思维构建的案例

基于对数学学科教学和课堂教学的认识，教师在教学中要注重在思维体系的构建上做文章。如苏教版普通高中课程标准实验教科书必修5中关于“数列”的教学，教师可突出函数思想和类比方法，引导学生构建丰富的思维体系。

在对等差、等比数列的前n项求和公式的推导教学中，就应抓住“如何实现运算方式的转化”这一思维关键设计教学活动。在推导等差数列求和公式的过程中，有两种极其重要的数学思想方法。一种是从特殊到一般的探究思想，另一种是从一般到特殊的化归思想。教学从特殊到一般的探究思想，可基于教材，设计如下三个问题。

问题1：某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有1根钢管，下面的每一层都比上一层多1根，最下面的一层有100根，怎样计算这堆钢管的总数呢？

问题2：如果某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有1根钢管，下面的每一层都比上一层多2根，最下面的一层有2n-1根（n∈N*），怎样计算这堆钢管的总数呢？

问题3：求等差数列{an}的前n项和，即Sn=a1+a2+a3+…+an的值。

揭示从一般到特殊的化归思想是本节课思维体系构建的关键之处。不少教师常常只注意到“倒序相加”是推导等差数列求和公式的关键，而忽视了对“为何要这样做”的思考。同样是求和，求1+2+3+…+100的值与“假设在这堆钢管旁边倒放着同样一堆钢管”来求和的本质区别是什么？事实上，前者是“不相同的数”求和，后者是“相同的数”求和。“相同的数求和”是一个极其简单并且在乘法中早已解决了的问题，将“不相同的数求和”（一般）化归为“相同的数求和”（特殊），这就是推导等差数列求和公式的精髓。不仅如此，将一般的求和问题化归为我们会求（特殊）的求和问题，这种思维方法还将在以后的求和问题中反复出现，这是一种具有普遍意义可迁移的思想。在等差数列求和公式的推导过程中，其实有这样一个问题链：

为什么要在这堆钢管旁边倒放同样一堆钢管？（因为想转化为相同数求和）

为什么“倒序相加”能转化为相同数求和？（因为等差数列性质）

由此可见，“倒序相加”只是一种手段和技巧，转化为相同数求和才是解决问题的关键，等差数列自身的性质是所采取的手段能达到目的的根本原因。

当然，如果学生在解决问题1：求S100=1+2+3+…+100的值时，提出可采用“分组配对”的方法来求和，即1+2+3+…+100=（1+100）+（2+99）+…+（50+51）。那么，教师在肯定这一思维方法后，可不失时机地提出问题2：求Sn=1+2+3+…+n（n∈N*）的值，让学生感觉到，此时的分组配对要分“项数是奇数还是偶数”来讨论，求解后，追问：怎样才能避免对项数的讨论，自然引出倒放钢管的思维方法。

类比等差数列前n项和公式的推导，等比数列前n项和公式的推导也要抓住“如何实现运算方式的转化”这一思维关键来设计教学。

教学中，可引导学生回顾思考“等差数列是如何求和的”？它是将“不相同的数求和”，通过“倒序”化归为“相同的数求和”，实现运算方式的转化，其中等差数列的性质起了关键作用。类比等差数列求和的思维策略，求等比数列前n项和该如何实现运算方式的转化，以达到化简求和的目的呢？显然，我们要将目光聚焦到等比数列的结构特征、项与项的关系上来。在这一教学活动的设计中，要给学生创设自主探究的空间。如求S64=1+2+22+…+263的值，引导学生观察等比数列中相邻两项存在的关系ak+1=akq，启发学生如何消项求和：仿照等差数列倒序相加简化运算的做法，等比数列求和该怎样简化运算呢？给学生思考时间，会有学生在上式两边同乘以公比2，得到新式子2S64=2+22+…+263+264，然后与原式作差，消去相同的项，达到化简求和的目的；在教师的启发下，也会有学生在原式两边同乘以，或乘以22等，来实现作差相消求和的目的；甚至会有学生采用两边同加上1，即1+S64=1+1+2+22+…+263=2+2+22+…+263，不断从左往右加，得到1+S64=264；及S64=1+2（1+2+22+…+262）=1+2（S64-263）等处理方法，有效地实现运算方式的转化，求出S64=264-1；等等。接着，从特殊到一般，提出问题：求等比数列{an}的前n项和，即Sn=a1+a2+a3+…+an的值，进一步领悟“错位相减”这种“消项求和”的数学本质，认识它的普遍意义和迁移价值，发展学生的思维能力。

像“数列”这样蕴含着丰富数学思维的教学内容，在数学教材中俯拾皆是。教师要站在思维的制高点上进行课堂教学设计，帮助学生构建完整、丰富的思维体系。如上述对“等差数列前n项求和公式”的推导中，从“特殊到一般”探究数学问题的思想方法和从“一般到特殊”解决数学问题的化归思想方法就是两种极其重要的思维策略。从等差数列前n项求和公式的推导思维历程中“收获”等比数列前n项求和公式，是研究数学问题的又一思维策略。

简言之，教师要注重研究数学思维，数学思维反映的是数学知识的本质及其规律性联系，课堂教学要从重知识体系的构建转向重思维体系的构建。思维一旦形成体系，即抓住了存在的知识本质和规律性联系，就没有必要耗费过多的时间和精力去做知识堆砌上的文章；学生也只有建立起了自己的思维体系，才能更好地驾驭知识的学习。

【参考文献】

[1]陈柏良.透析课堂“美丽的错误”[J].中学数学教学参考，2004（09）.

[2]林卫民.重建“深度学习”的课堂教学[J].人民教育，2014（22）.