二阶常系数非齐次线性微分方程的解法探讨

彭长文 　黄华伟

[摘要]本文研究二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法。归纳了记忆特解公式的几个原则，并提出求待定系数的简化公式法，利用该方法可更为便捷地计算待定系数。

[关键词]高等数学；常系数；微分方程；特解公式；待定系数

[中图分类号]O175。1 [文献标识码]B

[基金项目]贵州省科学技术基金项目（黔科合J字[2014]2125；2142）；贵州师范学院项目（13BS011）；贵州省教育厅自然科学研究项目（黔教合KY字[2015]422号）。

1。引 言

在《高等数学》课程中，常微分方程的基本解法是课程的重要部分，这部分内容的难点集中在二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法[1，2]。笔者在教学中发现很多学生对这种方程的特解公式难以掌握，又由于计算量较大，许多学生即使掌握了求特解的公式，但在计算待定系数时错误仍然较多。例如求系数的代数方程列错，或代数方程列对，但结果求错。

本文介绍二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，归纳记忆特解公式的几个原则，并提出求待定系数的简化公式法。利用简化公式法，更容易得到待定系数的代数方程。

2。特解公式及其记忆原则

二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为

y″+py′+qy=f（x）（2。1）

其中p，q为常数，f（x）为非齐次项，或称为自由项，不恒等于0。下面介绍f（x）为多项式、指数函数（以e为底）、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。

其解法是先求对应齐次方程y″+py′+qy=0的通解Y，再求方程（2。1）的一个特解y*，则（2。1）的通解为y=Y+y*。对于齐次方程的通解Y的求法，本文不作介绍。我们只介绍（2。1）的特解y*的求法。

对于f（x）=Pm（x）ekx的二阶常系数非齐次线性微分方程（2。1），可设特解为y*=xsQm（x）ekx，

其中Qm（x）是和Pm（x）同次（m次）的系数待定的多项式，s的取值为

s=0， k不是方程的特征根，1， k是方程的特征根，2， k是方程的二重特征根。

对于f（x）=eαx[Pm1（x）cosβx+Pm2（x）sinβx]，同样用待定系数法，可设（2。1）的一个特解为y*=xseαx[Ql（x）cosβx+Rl（x）sinβx]，

其中l=max{m1，m2}，Ql（x），Rl（x）为l次系数待定的多项式，s的取值为

s=0， α±βi不是方程的特征根，1， α±βi是方程的特征根。

求特解y*的关键是如何正确设出y*的形式。初学者常常设错，为此我们归纳设y*的几个基本原则。

原则一：与自由项形式相同原则

该原则是指，当k或α±βi不是方程的特征根，则所设特解y*与自由项f（x）的形式相同。

例如，若0不是方程的特征根且f（x）=x3+1，则设y*=Ax3+Bx2+Cx+D；

若5不是方程的特征根且f（x）=4e5x，则设y*=Ae5x；

若2不是方程的特征根且f（x）=e2x（x2-1），应设y*=e2x（Ax2+Bx+C）；

若±4i不是方程的特征根且f（x）=sin4x，应设y*=Acos4x+Bsin4x；等等。

原则二：乘以x或x2的原则

若k或α±βi为方程的单特征根，则所设的特解中除了包含与自由项形式相同的部分，还应乘以x；若k或α±βi为方程的二重特征根，则所设的特解中除了包含与自由项形式相同的部分，还应乘以x2。

原则三：叠加原理求特解原则

该原则是指：若自由项较为复杂，应将自由项拆成若干Pm（x）ekx和eαx[Pm1（x）cosβx+Pm2（x）sinβx]的形式和，从而将方程拆成若干个简单（即自由项为以上两种情况）的二阶常系数非齐次线性微分方程，每个简单方程分别求出特解，则原方程的特解即为这些简单方程特解的和。

例如，若f（x）=f1（x）+f2（x）且f1（x），f2（x）都是Pm（x）ekx或eαx[Pm1（x）cosβx+Pm2（x）sinβx]的形式，则先分别对f1（x），f2（x）求出特解y*1，y*2。利用叠加原理，其和y*1+y*2为f（x）的特解。

原则一和原则二说明，方程（2。1）的一个特解的形式常从自由项f（x）的形式推出。从本质上讲，这整个工作只不过是作一种巧妙的猜测，其中包含足够多的待定系数供调配，以适合各类函数的要求。

3。求待定系数的简化公式法

设非齐次方程的特解y*的形式掌握后，剩下的就是计算问题。但由于计算量较大，初学者错误较多，一般错误集中在求系数的代数方程列错。下面我们提出求待定系数的简化公式法，利用该方法，可更为便捷地计算待定系数。

假设方程（2。1）的自由项f（x）=G（x）ekx，其中G（x）是没有指数形式的x的函数。设y*=H（x）ekx为方程（2。1）的一个特解，其中H（x）是x的待定函数。

将y*=H（x）ekx代入方程（2。1）进行计算并消去ekx≠0，得

H″（x）+（2k+p）H′（x）+（k2+pk+q）H（x）=G（x）。（3。1）

要得到原方程的特解y*，即要求出H（x），而这只需比较（3。1）左右两端的系数。

因此，当我们设好了特解y*，无须把y*代入原方程，只要确定了y*中的H（x），将H（x）直接代入（3。1）式即可。用公式（3。1）的优点在于，不需要把y*中的指数函数ekx代入原方程求导，这极大简化了中间计算过程。而且当k是方程的特征根，还可以更加简单。在计算时，按照k可以分成三种情况：

（1）如果k是方程的二重特征根，那么k2+pk+q=0且2k+p=0，此时（3。1）式简化为H″（x）=G（x）。

（2）如果k是方程的单重特征根，那么k2+pk+q=0，但2k+p≠0，此时（3。1）式简化为H″（x）+（2k+p）H′（x）=G（x）。

（3）如果k不是方程的特征根，那么k2+pk+q≠0且2k+p≠0，此时（3。1）式不能简化。

例3 求微分方程y″+4y′+3y=xe-3x的通解。

一般解法：

特征方程r2+4r+3=0，解得r1=-1，r2=-3，所以原方程对应的齐次方程通解为Y=C1e-x+C2e-3x。再求原方程的一个特解y*。因为原方程自由项为f（x）=xe-3x，而-3是特征方程的单根，故可设特解形式为y*=xe-3x（Ax+B），其中A，B为待定系数。将y*=xe-3x（Ax+B）代入原方程。为此，需先计算

（y*） ′=[xe-3x（Ax+B）]′=[e-3x（Ax2+Bx）]′ =-3e-3x（Ax2+Bx）+e-3x（2Ax+B） =e-3x[-3Ax2+（2A-3B）x+B]。

（y*）″=[y*]′=[e-3x[-3Ax2+（2A-3B）x+B]]′ =-3e-3x[-3Ax2+（2A-3B）x+B]+e-3x（-6Ax+2A-3B） =e-3x[9Ax2+（9B-12A）x-6B+2A]。

再将（y*） ′和（y*）″代入原方程，得（y*） ″+4（y*） ′+3y*=xe-3x。

计算，得e-3x[9Ax2+（9B-12A）x-6B+2A]+4e-3x[-3Ax2+（2A-3B）x+B]+3xe-3x（Ax+B）=xe-3x。

化简，得e-3x（-4Ax-2B+2A）=xe-3x，

亦即 -4Ax-2B+2A=x。

由2A-2B=0， -4A=1，得

A=-14， B=-14，

从而 y*=-14e-3x（x2+x）。

所以原方程的通解为y=Y+y*=C1e-x+C2e-3x-14e-3x（x2+x）。

可以看到，设好特解y*后，求（y*） ′和（y*）″的计算量很大。下面我们利用公式（3。1）的方法来进行计算。

简化公式法：求对应齐次方程的通解Y和设原方程的一个特解y*=xe-3x（Ax+B）与一般解法一样，我们此处不再赘述。下面我们来计算A和B。为利用公式（3。1），先找出G（x）=x， H（x）=Ax2+Bx， k=-3， p=4， q=3。因为k=-3是特征方程的单根，故公式（3。1）为H″（x）+（2k+p）H′（x）=G（x），

即2A+（-6+4）（2Ax+B）=x，

亦即-4Ax+2A-2B=x。

接下来的解法与一般方法一样，通过比较系数求得A=-14，B=-14，从而 y*=-14e-3x（x2+x）。所以原方程的通解为y=Y+y*=C1e-x+C2e-3x-14e-3x（x2+x）。

4。结 论

从第3节例子可以看到，一般解法中将y*代入原方程的计算量往往非常大。大部分学生都只能设出特解，解不出待定系数或解出的结果有误。

利用简化公式法，可以避开求（y*） ′和（y*）″的过程，而是计算更简单的H″（x），H′（x），这将使计算量大为减少。在教学中我们发现，采用简化公式（3。1），大部分学生都能算正确结果。

[参考文献]

[1]张效成， 刘克勤， 孙凤芝。高等数学（下）[M]。北京：北京邮电大学出版社， 2012： 242-248。

[2]陈新明，胡新姣。常系数线性非齐次微分方程的简单解法[J]。大学数学 2008，3：156-159。

[3]赵志勇， 薛运华。高等数学习题课讲义（下）[M]。天津：南开大学出版社， 2008：190-194。

[4]毛刚源。高等数学解题方法技巧归纳（下）[M]。武汉：华中科技大学出版社， 2010： 540-548。