独立学院高等数学教学中例题的选择

杨芳

【摘 要】 本文从独立学院高等数学的教学目标和教学实践出发，探讨了针对独立学院高等数学教学应该如何选择例题. 即例题的选择应具有启发性，难度有梯度性，要与学生所学专业，与数学建模相结合，从而进一步提高学生综合解决实际问题的能力和创新能力，体现独立学院的办学特色.

【关键词】 独立学院；高等数学；例题的选择；能力培养；探讨

高等数学是理工科院校学生的一门必修的公共基础课，高等数学教学的好坏直接影响到学生后续课程的学习. 但是作为独立院校，其人才培养目标是应用型本科人才，这就意味着作为基础课的高等数学理论学时的减少. 要在有限的学时内完成高等数学课程的教学，同时还要突出应用型的特色，除了对课程内容进行优化调整，例题的选取也显得尤其重要.

本文结合独立学院的实际，从高等数学课程教学的基本目标任务出发，就如何结合数学教学，培养学生解决实际问题的意识和能力，而精心选择例题做了探讨.

一、例题的选择要有启发性

在讲授新知识时，通过选取合适的例题，启发学生利用已学知识解决问题，进而导出新的知识概念，完成由旧到新的过渡. 这种启发式的教学既能使学生加深对新知识的理解，也能使学生将原有知识与新知识很好的统一起来，培养学生主动思考的能力和学习兴趣.

例如，在讲授利用极坐标计算二重积分时，学生已经掌握了利用直角坐标计算二重积分的方法，此时可通过已有知识导入新的问题.

例1 计算二重积分edσ，其中D是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.

本题学生利用已经掌握的直角坐标计算二重积分的方法可以完成由二重积分到二次积分的转化，但是由于被积函数的原函数不是初等函数，故本题无法利用直角坐标计算. 遇到了困难，学生就会主动思考新的方法，此时教师通过分析很自然地引入极坐标，学生的学习兴趣和注意力被吸引.

二、例题的难度有梯度性

通过设置由浅入深，逐层递进的例题，启发学生的解题思路，培养学生的创造思维能力和发散思维能力，提高学生的解题能力.

例如在不定积分的教学中，可设置例题：

例2 求下列不定积分

（1）dx （2）dx （3）dx

（4） dx （5）dx

分析：（1）是非常简单的积分问题，运用积分公式，便可求得结果. 在此基础上我们进行了拓展、引申，得到问题（2）-（5），启发学生进行联想，探究问题的内在联系及区别，激发学生解决问题的欲望和兴趣.

三、例题的选择要融于学生所学的专业

高等数学的教学其目的是通过学习，奠定必要的数学基础，为学习后续课程做铺垫. 因此在例题的选取上应考虑专业课程的需要，适当删减教学内容，增强例题的应用性、针对性，这就对教师提出了更高的要求.

例如，在给通信工程等专业的学生讲授方向导数和梯度的概念时，可通过这样的一个例子引入.

例3 设有一座小山，取它的底面所在的平面为xoy坐标面，其底部所占的闭区域D = {（x，y）|x2 + y2 - xy ≤ 75}，小山的高度函数为h = f（x，y） = 75 - x2 - y2 + xy

现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚找一上山坡度最大的点作为攀岩的起点，试确定攀岩起点的位置.

教师可引导学生从感性认识“坡度”，抽象出“方向导数”的概念，从“最大坡度方向”即方向导数最大的方向抽象出“梯度”的概念. 当学生很好地理解了方向导数及梯度概念时，这个问题就容易解决了.

四、例题的设计要与数学建模相结合

在例题的设计中，将数学建模引入数学教学中. 例如：在讲授微分方程的概念和可分离变量的微分方程的解法时，给出如下问题.

例4 2003年春天来历不明的SARS病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害；2005年禽流感也给人类带来了威胁. 长期以来，人们担心当为数不多的传染者分配到能够感染的人群中时，随着时间的推移，疾病是否会蔓延，最终有多少人会被传染，应采取怎样的防御措施？

这是数学建模中典型的传染病问题. 对于没有接触过数学建模的大一学生，很少会想到将它和今天所学的数学知识联系起来，于是兴趣一下子被调动起来.

假设每天每个病人有效接触的人数为常数λ，时刻t的病人人数为i（t），i（0） = i0是初始时刻的病人人数，考察t到t + Δt时间段内病人人数的增加量，有i（t + Δt）-i（t） = λi（t）Δt，于是得微分方程 = λi（t），i（0） = i0，这是一个可分离变量的微分方程，其解为i（t） = i0eλt

结果表明，随着t的增加，病人人数i（t）无限增长，并趋于无穷大，这显然是不符合实际的. 问题在于假设不合理. 因此模型需要改进.

通过例题4的设计，学生体会到数学离我们并不遥远，利用数学知识可以解决实际问题. 既加深了学生对微分方程的理解，也在教学中渗透了数学建模的思想. 本题最后提出了改进的方向，也是激发学生课后独立学习，自主探究的一种有效的方法.

结束语

总之，在高等数学的教学中，应该重视数学的例题选用，注重培养学生的数学能力和创新思维能力，以及应用数学方法解决实际问题的能力. 例题的设计要体现独立学院“以实用为目的，以必须够用为度”的原则. 体现“联系实际，深化概念，注重应用，提高素质”的特色. 科学选用例题，提高教学质量.