数列教学中数学思想方法的挖掘与渗透

周文汇　 ��

[摘 要] 数列作为高中数学的重要内容，在高考中占有很大的比重.教师在教学数列知识时，要认真挖掘与渗透数列中的数学思想方法，并以这些数学思想方法为指导，引导学生分析、解决数列问题，从而达到事半功倍的教学效果.

[关键词] 高考数学 数列 数学思想方法

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674 6058（2016）17 0057

数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识.数学方法是数学思想的具体化形式.实际上，这两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题，所以通常被混称为数学思想方法.常见的四大数学思想方法有函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合.数学思想方法是数学学习和研究的核心和灵魂.数列中蕴涵了许多重要的数学思想方法，在数列教学中注重数学思想方法的挖掘与渗透具有十分重要的意义.

一、函数与方程思想

1.函数思想

数列是一类特殊的函数，数列中的好多问题都可以转化为函数问题.函数思想是用联系和变化的观点考查数学对象.以函数的观点认识、理解数列，是解决数列问题的有效方法.

【例1】 （2013·全国卷Ⅱ，理16）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=0，S15=25，则nSn的最小值为 .

解析： 设数列{an}的首项为a1，公差为d，

很容易求得Sn=-3n+ n（n-1） 2 × 2 3 = 1 3 n2- 10 3 n

.

令f（n）=nSn，则f（n）= 1 3 n3- 10 3 n2.

然后，利用导数判断函数的单调性，可知当n= 20 3 时，f（n）取最小值，而n∈ N+ ，f（6）=-48，f（7）=-49，所以当n=7时，f（n）min=-49.

2.方程思想

等差、等比数列共涉及五个基本量.在解数列问题时，利用等差、等比数列的通项公式、求和公式及性质构造方程（组），是解决数列问题的基本方法.

【例2】 （2015·安徽，理14）已知数列{an}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{an}的前n项和等于 .

解析： 由题意得

a1+a4=9

a2·a3=a1·a4=8

，解得：

a1=1a4=8

或

a1=8a4=1

.

而数列{an}是递增的等比数列，所以 a1=1a4=8

，即q3=

a4 a1 =8

，所以q=2，可求得数列前n项和为Sn=2n-1.

二、分类讨论的思想

对于复杂的问题，我们一般无法一次性解决，常需分类讨论，化整为零，各个击破.数列中蕴含着丰富的需要分类讨论的问题，如对等比数列中公比的讨论.

【例3】 （2015·山东，理18）设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn=3n+3.

（1）求{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足anbn=log3an，求{bn}的前n项和Tn.

解析： （1）an=

3，n=13n-1，n>1

.

（2）因为anbn=log3an，

当n>1时，bn=31-nlog33n-1=（n-1）31-n

，所以

Tn=b1+b2+b3+…+bn= 1 3 +[1×3-1+2×3-2+…+（n-1）31-n]，

所以3Tn=1+[1×30+2×3-1+…+（n-1）32-n]，

两式相减，得2Tn= 2 3 +[30+3-1+…+32-n-

（n-1）·31-n]= 2 3 + 1-31-n 1-3-1 -（n-1）·31-n

= 13 6 -

6n+3 2×3n

.

所以Tn= 13 12 - 6n+3 4×3n .

经检验，当n=1时，T1=b1= 1 3 满足Tn= 13 12 - 6n+3 4×3n .

综上可得：Tn= 13 12 - 6n+3 4×3n .

三、转化与化归思想

将研究对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象，将其变为熟悉的或者已经解决过的数学模式.或者从整体着眼，通过问题的整体形式、整体结构或其他整体处理后，达到解题的目的.

【例4】 （2014·全国卷Ⅱ，理17）已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1.

（1）证明{an+ 1 2 }是等比数列，并求{an}的通项公式；

（2）证明： 1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an < 3 2

.

解析： （1）由an+1=3an+1，得an+1+ 1 2 =3（an+ 1 2 ）.

又a1+ 1 2 = 3 2

，所以数列{an+ 1 2 }是首项为 3 2 ，公比为3的等比数列，

所以an+ 1 2 =

3 2 ×3n-1=

3n 2 ，

所以an= 3n-1 2 .

（2）略.

（责任编辑 钟伟芳）