对必修一“集合”单元教学的思考

尤为军 王一强 熊翠华

摘要：集合作为高中数学教学的起始内容，是因为集合是高中数学的基础，与其他高中数学内容有着密切联系。本文在梳理集合与其他数学内容关联性的基础上，分析了高中“集合”的定位，并提出了对集合单元教学的几点思考。

关键词：集合；高中数学；单元教学

中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）09-065-2

一、集合与其他数学内容的关联性

1.在上高中之前，学生已经学习了实数的概念及表示方法、运算法则与运算律，字母的概念及表示方法、运算法则与运算律，代数式的概念及表示方法、运算法则与运算律。虽然字母和代数式有点抽象，但都是在实数的基础上推广和扩展得来的，学生还能迁移和理解，而高中阶段将要学习的很多数学对象，比如说，集合、函数、指数、对数、三角函数、数列、平面向量、简易逻辑、矩阵等等，不能完全从实数及实数的运算中迁移，需要重新构建。苏教版教材处理这些数学对象手法都是从实际生活中抽象出数学概念，然后研究数学对象相关概念及之间的关系，最后研究它们的运算法则、运算律及性质等内容。集合是高中阶段学习的第一个数学对象，它的学习路径将给其他高中数学对象（数列、复数、平面向量和矩阵等等）的学习提供基本范式。

2.在高中数学教材中，许多数学对象有多种表示形式，比如说，集合、函数、数列、复数和平面向量等等。但数学对象的表示形式基本上是从“数”与“形”两个角度给出的，集合是高中数学阶段第一个被表示的数学对象，因此，集合表示方法的切入方式对其他数学对象的表示有重要的借鉴意义。

3.在《数学教育学》一书中，斯托利亚这样表述：“集合论概念”这个术语在这里指的是朴素集合论的最简单的概念，它是在“类的逻辑”的名称下首先发展起来的。“类的对象”具体准确地揭示了集合的本质，在小学和初中阶段我们学习了很多类的对象，譬如说，我们把0，1，2，……这类数称为自然数集，所有的正方形是一类数学对象，一次函数是一类数学对象等等。在立体几何中，我们也学习了很多类的对象，比如说：四棱柱，平行六面体，直平行六面体，长方体，正四棱柱，正方体。从这些数学对象的定义可以看出来，后面的集合都是在前一个集合基础上增加了新的条件得到的，这里还蕴含了集合的真包含关系。

4.集合的含义反映了元素与集合的属于关系，也就是个体与整体的关系。集合的关系、集合的运算都是从元素的角度予以定义的，因此，抓住集合中元素的特征是解决集合问题的基本途径。在高中数学教材中，具有个体与整体关系的数学对象还有函数值与值域、项与数列、二项式展开式的通项公式与二项式展开式，以及矩阵元素与矩阵等等。比如说，函数值与函数的值域就是个体与整体的关系，只有把握了函数值的特征，才能正确描述函数的值域。

5.“集合”单元涉及很多数学符号，有些集合符号是用其的英文（或德文等）首字母表示的，比如说，N，Q，R都是由英文的头一个字母来的，Z是由德文zahlen（整数）的头一个字母来的；有些集合符号（比如说，∈，，∪，∩）已无法知晓其意义，但有些集合符号可以与数的关系进行类比，比如说，“”与“≤”、“”与“<”、“”与“0”等等。

6.集合是一种数学语言，可以简洁、准确地表达数学内容，用集合表述的数学内容贯穿于整个高中数学课程，下面笔者梳理一下苏教版必修教材中用集合语言描述的数学知识。

在必修一函数章节中，“集合与对应关系”重新刻画了函数的概念，进而得到了定义域、值域、单调区间等用集合语言描述的数学概念；在必修二立体几何初步章节中，用集合语言来描述空间中点、直线、平面的位置关系；在必修二平面解析几何初步章节中，用集合语言给出了圆的定义；在必修三概率章节中，用集合与集合运算，精确地描述了基本事件、基本事件空间、不可能事件、必然事件及对立事件等；在必修四三角函数章节中，三角函数中的单调区间，三角函数图像的对称轴等都是用集合语言描述的；在必修五中，一元二次不等式解集、线性规划中目标函数的可行域、数列的定义域等。

7.在高中数学阶段中，我们将会学习许多数学语言，比如说，集合语言、立体几何语言、算法语言和简易逻辑语言等等，它们基本上都是三种语言形式：文字语言、符号语言、图形语言。而集合语言是高中阶段学习的第一个数学语言，其三种语言形式的学习对高中阶段其他数学语言的学习起到了导向作用。

8.集合与简易逻辑中逻辑联结词、四种命题、充要条件以及含特称量词的“存在性”问题都联系紧密，用集合观点解释简易逻辑中的有关问题可以使问题变得浅显易懂，有利于加深学生对有关逻辑问题的理解。

二、高中数学中“集合”的定位

1.《普通高中数学课程标准》（实验）明确指出：集合语言是现代数学的基本语言，是一种特殊的符号语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容。高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力。在高中数学课程中，一般从“数”与“形”两个角度描述数学对象，具有“数集”意义的数学对象有：函数的定义域和值域、不等式（或不等式组）的解集、方程（或方程组）的解集等；用集合语言描述具有“图形”意义的数学对象有：圆、椭圆、双曲线、抛物线、可行域等等。

2.“类的对象”具体准确地揭示了集合的本质，对“类”的对象的研究和刻画也成为中学集合问题研究的出发点和归宿。对研究的对象进行适当的“分类”是集合的功能。因而，在教学中让学生感知集合是关于“类”的概念非常必要。

3.集合不仅是一种数学语言，而且还是一种思想方法。集合单元中蕴含着丰富的数学思想方法，如分类的思想、子集思想、交集思想、并集思想、补集思想、数形结合思想和转化化归思想等。集合思想方法在高中数学中的应用无处不在，我们可以用子集思想解释充要条件，用补集思想处理从正面求解较困难或较繁的问题等等。在集合的教学中教师若能及时向学生渗透数学思想方法，不仅能使学生认识数学思想方法的重要性，还将复杂的问题变得条理清楚，起到化繁为简、事半功倍的作用。

4.集合语言的学习和其他语言的学习一样，需要一个过程。作为高中数学阶段第一个数学语言，首先要掌握集合语言的表述方式和规则，其次要学会准确转换文字语言、符号语言和图形语言，再次需要利用集合语言表述其他数学问题，最后要能利用集合思想方法解决其他数学问题。当然，熟练地运用集合语言来揭示数学问题有一个理解与掌握的过程。一方面，我们可以利用集合语言复习、梳理已有知识，另一方面，随着学习深入，我们可以用新知识巩固集合语言，还可以用集合语言、思想方法来解决新的数学问题。

5.集合，是高中阶段学习的第一个数学对象。应通过集合单元的教学，让学生总结提炼出学习一个新数学对象的路线图：定义→表示方法→关注特殊对象→数学对象间的关系及分类（尤其是相等）→构造运算及性质→应用，为以后其他数学对象的学习提供一个范式，起到示范作用，从而帮助学生形成认知结构，发展元认知。

三、单元教学中需要注意的问题

1.集合语言的学习主要在“用”的过程中实现，对此，我们倡导从“读得懂”、“会翻译”和“活运用”多方入手。由此可见，教师在集合的教学中应十分重视集合语言，一切的教学选材、教学设计和教学活动都应围绕一个主题，那就是增强学生对集合语言的理解、翻译和运用的能力。

2.初学“集合”时，一定要用学生己有的知识作为学习集合的载体，如：用集合表述自然数、整数、一元一次不等式的解、方程和方程组的解等；不要用学生不熟悉的知识增加学生学习“集合”的难度，如尽量不要在这里出现一元二次不等式的求解问题，等等。

3.众所周知，集合可以看成是由某些确定的对象所组成的全体，其中的每一个确定的对象称为这个集合的元素。集合的表示、集合之间的关系、集合的运算等等都是从元素的角度予以定义的。集合的表示，运用的是集合元素的列举和描述；集合间的关系，运用的是两个集合间元素的存在关系；集合的运算，运用的是公共元素、所有元素、剩余元素等概念。因此，求解集合问题时，要善于抓住元素的特征进行分析，就相当于牵牛抓住了牛鼻子。抓住了这个关键因素，解决问题就会事半功倍。

4.掌握集合语言不能一步到位。在整个高中数学学习中，有很多内容是提高学生掌握集合语言的载体，如：解析几何、线性规划、立体几何、函数的定义域和值域、函数图像、概率、统计，等等，这些都是进一步掌握集合语言的载体。

5.在实际数学教学中，数学符号常是教学的一个盲点，很少人关注它的源与流。其原因是应试教育的观点作祟，一切从考试出发，认为集合内容高考很简单只要会做几个简单的题目就行了，很少重视集合内容的本质。学习集合语言，首先要弄懂各种符号的意义和用法。熟悉了这些符号后就可以比较方便地表达集合的一些性质。运用数学符号来表达可以体现形式上的简洁性和结构上的完美性。

6.在教学中，教师要对集合单元中所反映出来的数学思想和方法及时总结、归纳，同时结合后续教学内容及时渗透与强化，引导学生领悟问题中所蕴含的数学思想方法，发展学生数学能力。

7.将“集合”一章作为高中数学（甚至整个数学）学习过程中进行数学研究、数学理论建构的范例来整体认识，也是本章的重要教学价值之一。

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