小学数学课程和教学跨领域整合的探索

张宏伟

[摘 要]对数学课程和教学跨领域整合的意义进行界定，并从“数学跨学科方面（如科学、戏剧、文学、艺术等）整合”“数学内部各领域的整合”“数学与日常生活现实的整合”“数学与环境、社区、场馆、技术、媒体等方面的整合”四个维度，通过大量、典型的实践案例及其整合的现实意义，探索一些跨领域进行课程建设和教学的操作范式。

[关键词]跨领域 整合 小学数学 课程建设 数学教学

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）11-010

一、论题的意义界定——为什么是跨领域，而不是跨学科？

百度百科上对“领域”这个概念的解释有三种：第一，指领土、领海、领空、驻外使馆等国家主权管辖下的所有区域；第二，指意识形态或社会活动的范围，如思想领域、学术领域、生活领域、科学领域、人文领域等；第三，指某一学科分类划分后，对应的各部分就叫做某某领域。第一种解释说明“领域”包括了所有的地方和空间；第二种解释则说明“领域”包括人文和科学、思想、学术、生活等人的思想与认识的所有领域，它的外延大于并包括了学科；第三种解释的外延又小于学科，指的是学科内的各部分。

因此，小学数学课程和教学的跨领域整合应界定为跨越和整合人文与科学领域，跨越和整合不同的空间、不同的生活、不同的思想与认识，以及数学学科内部的各部分来进行数学课程建设和教学。它是小学数学课程建设和教学的一种理念、一种策略、一种方式，外延应包括数学内部领域的整合、跨学科的整合，以及数学与环境、生活、技术、媒体、社区等各种社会资源的整合，比跨学科整合的范围更广，涵盖更完整、更全面。

二、跨领域整合数学课程和教学的实践

（一）跨学科的整合

我是一位全课程包班教师，兼任数学、体育、科学和戏剧四门学科的教学。我成为包班教师之后，最大的改变是开始全面地关注各学科和看待每一个学生，开始真正基于全面育人的理念，对各学科进行整合。

1.数学与科学的整合

众所周知，数学是科学技术的基础和工具，这两个学科的联系最为密切。于是我首先尝试开发合适的项目，让科学成为数学学习的情境和载体，实现两个学科的整合。如二年上学期，我开发“杠杆的秘密”这个项目课程，课程的建设情况和实施过程如下。

（1）校园。

活动①：午饭后带学生到操场上进行掀石板比赛。

活动②：让学生用砖头做支点，用木棍撬石头，并不断变换支点的位置，多次进行撬动的体验。

上述两个活动可以让学生体验到杠杆省力，发现支点位置和用力大小的关系。

活动③：体育课变换花样玩跷跷板，即两边的学生变换位置体验、两边坐不同体重的学生体验、两边坐不同人数的学生体验……在玩的过程中，我让学生思考和比较：“和撬石板比，什么相当于石板？什么相当于支点？什么相当于撬棍？什么相当于撬的人？”通过问题，让学生再次感受和思考两边重量与力臂之间的关系。

（2）课堂。

活动①：小组合作组装杠杆并调平衡。

活动②：试着挂砝码，并且使杠杆两边平衡。

活动③：观察并记录每次杠杆平衡时两边的刻度读数和砝码个数，研究其中的奥秘。

活动结果：

学生的创意和研究结果让我震惊！在我的记忆里，杠杆原理是阻力×阻力臂=动力×动力臂，所以脑海里一直浮现一个力乘一个距离=另一个力乘另一个距离。但是，学生的发现完全颠覆了我几十年来对杠杆原理的认识，给我打开了一扇新的窗户！学生不仅发现在杠杆左右两边各放一组砝码的内在规律，即左边砝码数量×左边距离=右边砝码数量×右边距离，还创造性地发现了杠杆两边放多组砝码的规律。例如，在杠杆左边刻度5和刻度10两处各挂两个砝码，右边刻度4处挂五个砝码，刻度10处挂一个砝码，则杠杆左右平衡，因为5×2+10×2=30、4×5+10×1=30。从乘法等式拓展到乘加等式，这是我从来都没有想到过的。

活动④：写自己创造的挂法，并与亲人、伙伴分享。让学生从具体操作上升到图上的想象、创造和表达，避免出现完全依靠思考和计算完成平衡的问题，并在交流中进一步理解和加深对杠杆原理、乘法的认识。

活动⑤：沟通和分析。

让学生集体讨论、分析和分享：A.左右两边都是12，各放一个砝码如何思考；B.观察等式两边表示砝码数量和刻度的因数的变化规律；C.左边放好砝码后，右边应放几组砝码，放在哪里？

通过问题的研究，既沟通杠杆中砝码、距离的变化、平衡与乘法算式中因数、因数、积之间的联系，又沟通乘法、乘加、乘减和除法之间的关系。

（3）家庭和社区。

活动①：观察和发现家里、社区中，哪些地方、做哪些事用到了杠杆原理。

活动②：两项选修（研究成果自愿在午间的“数学讲堂”中和同学们分享）。

选修A：利用杠杆原理试做杆秤，研究杆秤的使用原理。

选修B：上网、参观科技馆、阅读课外书，对杠杆原理进一步研究。

现在我们回过头来反思和追问：这个课程费了这么大的“周折”，对学生而言是不是促进了知识的学习、技能的掌握、思维的训练及对数学本质的理解呢？是不是增强了学生的数学眼光和意识？对科学而言，是不是了解了科学的现象，初步感悟到科学的规律及其背后的本质，增强了科学的意识呢？答案是肯定的！

我认为本课程的设计至少达到以下几个方面的目标：第一，实现数学学科的学习（训练）目标，即巩固练习乘法，引出乘加、乘减、和除法，并进行学习和探究；第二，引入左右两边相等的算式，这其实是在进行相等关系建立的训练，有效地为学生后续学习方程的本质积累实际经验；第三，为积不变的规律提供一个现实的模型，使学生积累相应的活动经验；第四，使学生感受到数学、科学之间的联系，有利于他们数学的科学意识、科学的数学意识的建立，进一步增强学生学习数学的内驱力；第五，引导学生经历“实验——发现问题——猜想——验证——形成结论——创造性应用”这个发现杠杆奥秘的全过程，不仅超标准实现学习目标，而且积累了科学发现的一般经验；第六，开阔学生的视野，使他们多方面的素养得到提高。

现在很多学校都还没有实行包班制，数学教师往往只担任数学教学，怎么办呢？我认为可从以下两个层面着手：一是学校层面，要基于“全人”和“全课程”的教育理念进行课程的系统规划与重构；二是教师层面，做法是和配班的其他学科教师协同教学，一起规划和研究，突破学科界限，对“我中有你，你中有我”的内容进行整合，避免重复。如果还是不行，退而求其次，凭一己之力也可把生活中常见的、常用的、适合学生的科学现象作为数学的现实情境进行教学，在树立数学的理性精神的同时，培养学生的科学精神，教师何乐而不为呢？

2.数学与戏剧的整合

所谓数学课程和教学的戏剧化，是指借鉴戏剧艺术的原理和表现手法，运用戏剧与剧场的一些技巧，在教师有计划的引导与设计之下，师生一起对数学的课程和教学进行戏剧化的艺术加工，使数学的课程内容、学习活动等，具有戏剧性的动作、冲突、情境、意象、场面等元素，产生像戏剧一样的夸张效果，并以创造性戏剧、即兴演出、角色扮演、模仿、故事、偶戏、哑剧和游戏等方式，进行演绎的课程建设方式和数学学习方式。简言之，就是戏剧化地编设数学课程，戏剧化地进行数学学习。

（1）创编微型数学戏剧课程，进行数学的戏剧化教学。

微型数学戏剧以数学小品剧居多，类似于微视频、微课程。教学中的重、难点都可以用微型戏剧的方式，即以演绎微型戏的方式进行学习。它能收到角色认同和身临其境的效果，让学生在浪漫而理性、真切而浓烈的氛围中，深度投入、深度参与、深度理解，牢固掌握所学知识。这样的戏剧一般安排在学生独立思考和研究及同伴交流之后为宜，以免影响学生的自主探究、独立思考和创新。目前，我们师生已经编排、演出了10个微型戏剧。这里，详细介绍一下“五‘长论亲疏”的微型戏剧。这是一出“手指上的戏剧”，主要为了解决长度单位间的进率及其换算的难点问题。学生人人积极参与，先自己编出长度单位的戏剧情节，然后在实物投影仪上“演出”，并自己配音解说。通过戏剧的创作、表演和欣赏，全体学生都生动形象地理解、记住了这五种长度单位间的所有进率关系。

下面的作品是其中一位表演者的父亲，根据孩子在课堂上表演的视频整理的。

剧情：

拇指（老大千米）：“我跟大家介绍一下自己，我叫千米，英文名叫km，是一个较大的长度单位，主要用来测量路程的。另外，我还有一个名字叫公里。（看了一下其他四个小弟）他们四个小毛孩又在叽叽喳喳，竟敢在背地里议论我！”

拇指（老大千米）：“嗨，你们几个在干吗？安静点，再听到你们吵吵闹闹，我就会教训你们，现在是我的天下，我说了算！”（老大千米说完就弯下腰，睡觉了）

小指（老五毫米）仗着自己的个子最小，偷偷试着扎了老大千米一下。“啊，谁敢动我，不想活了？”老大千米把其他四个小弟挨个儿敲了一遍，又弯下腰，睡着了。

老五毫米听到老大千米、老二米、老三分米和老四厘米都打起了呼噜，就大胆地唠叨起来：“他们都在睡觉，平时我最小，现在该我当家了，我来算算自己什么时候能变成老四。有了，我凑十个就能变成老四厘米，凑一百个就能变成老三分米，凑一千个就能变成老二米，凑100万个就能变成老大千米哈哈，现在我当家了……”

“嗨，你这个小毛孩在这得瑟什么呀！还想十个凑成我，去、去、去，一边去。我来给大家介绍一下，我的中文名字叫厘米，英文名叫cm。哈哈，老大千米、老二米和老三分米都睡着了，就剩毫米这个小毛孩，现在是我当家了。”无名指（老四厘米）说道。这时老五毫米也不甘示弱，嚷道：“我当家！”

这时，老三分米被吵醒了。老三分米说：“你们两个不好好睡觉，吵什么呀！有我在，你们当什么家？台下的观众，自我介绍下，我叫分米，英文叫dm，是老四厘米的十倍、老五毫米的一百倍，他们两个小毛孩讲的都不要当真。现在，我才是当家的！”

“嗨哟，你说谁是小毛孩呀？你再这么说我们，小心我告诉二哥米、大哥千米去……”老四厘米和老五毫米一起说道。

“谁这么吵呀？”老二米打了个哈欠站起来问道。老三分米、老四厘米、老五毫米一起说道：“米二哥醒了，失敬失敬，我们得罪了。”

“你们几个真能闹，走开！大家好，我介绍下，我的名字叫米，英文名叫m，是长度单位中最简单的名字。我是老三分米的十倍，老四厘米的百倍，老五毫米的千倍。你们就不要告诉大哥千米，让他好好睡觉，永远都别起来。我最有资格做老大，你们全部都要听我的！”

“米！你竟敢在这里充老大，不想混了！”老大千米狠狠教训了米两下。“观众朋友们，我才是这里的老大。你看，我的身材跟他们比差多少！我让大家猜一下，我能抵多少个老二米、多少个老三分米、多少个老四厘米、多少个老五毫米呢？”

……

（2）创编大型数学戏剧课程，进行戏剧化数学教学。

创编大型数学戏剧主要是为了展示一个系列知识（一般为一个单元或几个连续单元）的逻辑结构关系，或者展示一个核心知识模块的形成、衍化和发展过程，或者展示数学循环上升期中发生质的转变的关键点。针对这些内容，教师可预先设计连续、丰富的情境和冲突，运用道具、场景、动作、意向等，精心编排大型的创造性数学戏剧。

如“10～20的认识”是学生认识数的一个质变点，编排大型数学戏剧“数和十进制的产生”，可以很好地实现学生亲身经历创造位值制和十进制的过程，完善学生对数的认识。

序幕：

我的疑问：数是谁创造的？什么时候创造的？世界各地的数都是一样的吗？为什么满十进一……

第一幕第三场：原始人狩猎和采摘中的以物计物（石子计数）→结绳计数→刻痕计数。

第二幕第六场：古代埃及|古代巴比伦|古代中国|古代罗马|古代阿拉伯|古印度，介绍一符对一数的计数情况。

第三幕第三场：核心内容为十进制的产生，分为手指计数（体验十进制和以一当十）、用更少的石子计更多和更大的数（体验位值制产生的必要性）及求简的思想、现代的自然数。

尾声：媒体快速展示数的变迁过程、数的应用和未来。

……

从上述案例可以看出，大型数学戏剧的核心目标是让学生通过持续的角色扮演、与其他角色的对戏，亲身“演出”数学的思维过程和数学知识的创造与形成过程，系统、充分地建立各个知识点间的联系，形成完整的数学认知结构，从而有效地促进学生对数学整体的认识、理解和掌握，更好地培养学生的数学素养。

（3）创编非正式戏剧课程，进行非正式戏剧化数学教学。

所谓非正式戏剧化，是指在日常教学中，把数学中一些常规、常态的教学内容和活动片段，用夸张、拟人或比喻的方式进行加工，使其具有像戏剧一样的夸张效果，就是通常所说的戏剧化。这种非正式数学戏剧化案例，很多是课堂教学过程中自然生成的。非正式戏剧化是数学课程和教学戏剧化最常用、最便捷的方式。

案例A：极度夸张

学生在解决有关圆锥体积的问题时，总容易忘记乘。我在学生自己总结出求圆锥体积不要忘记乘的基础上，戏剧化地板书圆锥的体积计算公式（如右图），夸张地占满整个黑板，触目惊心的冲击力，给学生留下了非常深刻的印象。

案例B：童话般拟人

学习商中间有0的除法后，在比较804÷4和704÷4时，我用童话的策略、拟人的手法，扮演704中的0，愤愤不平地向学生提意见、抱怨：“804÷4，除到0就直接商0，我也在中间，怎么就不能直接商0呢？太不公平了，我不服！”学生马上自觉地进行角色认同，把自己当成804中的0进行反击和理论。

如此长期进行戏剧化熏陶，不仅使学生戏剧化的意识和能力越来越强，开始自觉地对数学现象进行戏剧化的解释和演绎，而且增强了学生和数学、生生之间及师生之间的联系。

3.数学与文学、艺术等领域的整合

2015年9月15日，国务院办公厅公布了《国务院办公厅关于全面加强和改进学校美育工作的意见国办发〔2015〕71号》，再一次强调“将美育贯穿在学校教育的全过程和各方面，渗透在各个学科之中”。因此，我在课程的编制和教学中，非常重视数学与文学、艺术的整合，旨让学生在感悟数学本身的形式、简洁和神奇之美的同时，体会到数学在其他学科中的应用和价值。

例如，教学“对称”这部分内容时，我创编了一个集数学、文学、音乐和美术于一体的“对称长时段”课程（当时二十多位来自国培班的校长观摩了这节课），其中的两个课时分别安排为欣赏课和创作课。欣赏课中，我先让学生分享和欣赏自己搜集的素材——大自然和生活中各种美丽的对称事物与现象（含音律的对称），然后引领学生欣赏了回文诗、回文句、回文联、回文数。如下：

清水清 蜜蜂酿蜂蜜 鸟醉花香

1 2 1 1 2 3 2 1 冬伴春来春伴冬

=11×11 =111×111 风随雨洒雨随风

鸟醉花香花醉鸟

松恋雪洁雪恋松

……

这个项目课程成功沟通了文学、艺术与数和计算之间的联系，使学生“看”到艺术美背后的共性规律和支撑——数学，初步感悟到“科学的、美的事物，它一定是数学的”。

又如，“音乐盒的秘密”项目课程，把数学中的“按比例分配”内容和音乐、科学整合在一起。我先让学生找来橡皮筋和铁盒，把橡皮筋套在铁盒上后，任选一点，把橡皮筋分成左右两段，然后弹拨这两段橡皮筋，听两边发出的声音是否和谐、好听。活动中发现学生对声音的感觉是非常敏锐的，都体验到了找和谐分配点的成功和美好。然后我让学生测量别人盒子上橡皮筋的长度，并按照标准比例进行分配、试听。这样教学，既激发了学生的学习兴趣，又把按比例分配的学习寓于操作活动之中，使学生体会到“美的、科学的，一定是数学的”。

（二）数学内部各领域的整合

基于项目的学习，不仅需要调动不同学科的知识，而且需要调动数学内部不同领域的知识来共同解决问题。这样利于在研究中沟通数学自身数、形、统计等多个领域之间的联系，实现数学内部领域的整合。

1.新授时数学内部领域的整合

对于传统的、常规性的新授内容，我们要再次审视和寻找它们之间的内在联系，思考、寻觅和开发合适的项目，努力尝试把原来不好沟通的知识点进行联系，把原来还没有注意到的关系发掘出来，建立新的连接。同时，依据发掘到的新联系，把各领域、各知识点进行创造性的调整、整合和系统化，发挥系统化的高效能，减轻学生的负担，提升学生学习数学的能力。

例如，“两位数乘两位数的笔算”（以32×12为例）的内容，传统的教材编排往往局限在数与代数的领域之中，算理和算法的阐释与演绎只单纯地在数和数的关系上进行编制与运作。我在教学中发现乘法笔算的新的连接方式，开发了另辟蹊径的“形算”课程，引入指算、巧算、画线算（铺地锦）、方格算、十字相乘法等，把“形”充分地整合了进来。如下图：

在这个过程中，学生不断结合方格解释两个因数和积的现实意义，对长、宽和包含方格的个数积累了丰富的感性认识，为后续学习的知识——面积，做好了充分的准备。

这个项目课程的编制和教学，实现了数学内部“数与代数”与“图形与几何”两个领域的整合，为学生打开了计算之门，培养了学生的思维能力，让学生感受到计算的过程和表达也可以很形象、很奇妙、很好玩……

2.复习和综合应用中的整合

“实践与应用”是新课标安排的综合应用数学各领域知识的重要路径和内容。因此，教师一定要自觉加大这部分内容的分量和实施力度，并参照其他素材，创造性地开发新的整合数学内部各个领域的综合实践活动课程，以提升学生的综合应用能力、实践能力、创新能力，增强学生对数学整体的理解和认识。例如，教学“不一样的测算”时，我让学生自己突破传统的思维定式，学会利用一些工具和外部的事物去找到新的方法，并感悟到问题解决了，思考不能停止。这样教学，使学生既巩固了知识，增强了智力，又拓展了视野，生长了慧根。

（三）数学与日常生活现实的整合

根据怀德海的教育理论，精致的学习一定是建立在整体与大量的浪漫、感性和模糊的基础之上的。很多知识在精致学习时遇到的困难，大都因为浪漫阶段的积累和体验不充分。与生活现实整合的目的，就是让学生的数学学习更全面、更充分，更彻底地回归学生的日常生活，使学生在生活中解决自然发生的真实问题。

案例：“认识人民币”的教学

去年，我去一个《当代教育家》的实验校进行指导，该校的数学学科主任问我：“张老师，一年级‘认识人民币的内容教材上安排了5个课时，我们教了8天，效果还是很不好，这节课到底该怎么教呢？”我说：“这个内容不是靠几天的集中教学学生就能学好的，其实绝大多数内容都是这样。”然后，我给他们介绍了自己教学“认识人民币”一课的过程。

当时，“认识人民币”的内容安排在教材的第五单元，但是在开学的第一周，我就在班级里开设了“星星超市”，让学生做起了真买卖。钱盒子里放了各种不同版本、不同面额的人民币，学生可以随时、任意把玩，同时买卖任何物品都要自己登记数量、单价、总价及使用了哪些面额的硬币和纸币。一开始是我和学生一起当营业员，然后是学生自己轮流当营业员。到学习第五单元的“认识人民币”时，学生的学习效果自然很好。

除此之外，每个周末，我还安排学生和家长一起出去购物一次。周末购物的要求和在班级里买东西的要求不同，班级里的买东西没有任何认识人民币的任务，只是常态熏染，但是和家长一起出去购物，我要求学生在家长的协助下，每周有重点地认识一种人民币。如第一周奖励1元的纸币和硬币让学生自主支配，但学生要完成研究它的任务，包括认清它的长相、知道它能买哪些东西、了解它和角的换算关系等；第二个周末认识2元；第三个周末认识10元……这样在生活中不断地未学先用、边用边学，半个多学期下来，再来学习“认识人民币”时，学生就非常轻松和容易了。学生在这种长期的体验中，不仅认识了人民币，学会了人民币的简单兑换，而且亲身经历了购物的过程，积累了真切的体验，感受到了学习人民币的价值。除此之外，每个学生都能认识到1元钱的价值到底是多少，即1元钱能购买到哪些物品，这是课堂上教师教不出来的，只有在实际生活中才能真切体验到。

像这样的内容有很多，如测量、长度单位、质量单位、24时计时法、方向与位置、图形的初步认识、折扣等，都可以这样的方式来进行教学。如果我们教师把这些内容坚持在生活中进行长期渗透的话，就会发现很多知识像孩子学习母语一样，根本不需要我们去教孩子就会，需要的只是时间。

（四）数学与环境、社区、场馆、技术、媒体等的整合

随着科学技术的日益发展，数学学习与环境、社区、媒体、技术等的关系越来越密切。很多学生每天放学后上托管班，周末上培训学校，云学校、APPT、可汗学院等在线学习资源铺天盖地袭来……这些都让学校数学教育的围墙不断坍塌，使数学学习和数学教育越来越自由、越来越丰富、越来越开放。如何整合好这些资源，是学校，同时也是每位数学教师必须面对和研究的课题。

我在教学中尝试整合四方（学生、家长、托管教师和我）的力量，来协同完成教学。为此，我专门召开四方会议，建立“托管生四次元群”，以便四方及时与孩子沟通、协作。

除此之外，我还经常在网上寻找相关资源（如可汗学院、APP课程、阅读书目、数学绘本和数学电影等）推荐给学生，让学生提前自学、复习或欣赏；带领学生进入本区的牛奶厂纸箱生产车间去参观和学习，研究长、正方体的表面积；把学生带到路上进行绳测、步测和目测；把学生带到田地里计算土地的面积和收成；联系银行工作人员到学校现场给学生开存单，让他们计算利息……这样做的最终目的是尽己所能，整合所有的教育力量，促进学生的学习和成长。

三、几点强调和说明

一是在实际的课程建设和教学过程中，以上几种跨领域常常是难以分割、综合在一起的。

例如，在上述教学“认识时间”中，既让学生了解了小时的由来、古今中外各种不同的计时方法及其简要的发展过程，观测日月星辰，考察研究日晷（北京20余处，可以任选一处或者几处），并动手进行“燃香计时”和“自制滴漏”“日晷”等数学实验，又在某种程度上和天文、地理、历史等学科进行了整合。

又如，上述的项目课程“杠杆里的秘密”，其实已经覆盖了数学、科学、体育等学科知识，初步实现了各种现实的整合。

二是不论何种整合，教师都要对学习的目标、课程、课时等全面统筹、细致分析和系统规划，科学、合理地进行设计，切记“眉毛胡子一把抓”，削弱了各学科的核心知识和本质。

三是目前的探索和尝试还是局部的、点状的，需要深入思考和架构完整的跨领域整合体系。

（责编 杜 华）