等差数列中等比子数列的探究

◇ 山东 李 去

(作者单位：山东省邹平县长山中学)



等差数列中等比子数列的探究

◇ 山东 李 去

1 问题背景

从数列{an}中取出部分项,并将它们按原来的顺序组成一个新数列,称之为数列{an}的一个子数列.在等差数列中探究等比子数列是常考问题之一,本文力求给出解决此类问题的一般思路和方法,供读者参考.

2 问题解决

思路分析 写出数列的一些项:1,4,7,10,13,16,19,…,观察可以发现,其中1、4、16成等比数列,即a1、a2、a6成等比数列,且公比为4.是否存在无穷等比子数列,只要判断首项为1,公比为4的等比数列中任意一项都是等差数列的项.

解 由an=3n-2,得a1=1,a2=4,a6=16,所以存在不同的3项成等比数列,且公比为4.

下证等比数列的第4项也是等差数列中的项.

所以n1=6+4×(6-2).

同理,可以算得等比数列的第5项an2,其中n2=n1+4(n1-6),…,依次可以得到下一项,从而一定存在无穷等比子数列.

2) 说明等差数列中存在无穷等比子数列是先找出3项构成等比数列,再证明等比数列中的任意一项都在等差数列中;

3) 从构造等比数列的过程可以发现,只要等差数列中存在2项且后项与前项的比为整数,则一定存在无穷等比子数列.

思路分析 数列{an}的每一项都是正整数且是递增数列,所以先确定其等比数列子数列的公比一定是不小于2的整数,再运用子数列中项的双重性建立等量关系,确定公比的最小值.

解 由an=3n-2,n∈N*知an∈N*,an+1>an.记其等比子数列{akn}的公比为q,首项为ak1,则q≥2且q∈N*,否则,一定存在n∈N*,使ak1qn-1∉N*.

由akn是等差数列的第kn项,同时又是等比数列的第n项,得

akn=ak1+(kn-k1)×3,akn=ak1qn-1,

所以

.

由于ak1不是3的倍数,所以当n∈N*时,qn-1-1必是3的倍数.

当n≥2,n∈N*时,

qn-1-1=(q-1)(qn-2+qn-3+…+q+1),

其中qn-2,qn-3,…,q,1的最大公约数为1,从而q-1必是3的倍数,所以公比q的最小值为4.

2) 本题中等差数列的各项均为正整数,易得等比子数列的公比为正整数,实际上,一个等差数列中若存在等比数列子数列,其公比也是正整数.

总结提炼 一个等差数列的公差为非零,如果存在等比子数列,则其公比是大于1的整数.

3 变式演练

(1) 若a1=4, 求正整数m，使an1、an2、am成等比数列.

(2) 若a1=4,那么{an}是否存在无穷等比子数列{ank}？请说明理由.

答案 (1)m=6.

(2) 不存在(理由略).

(作者单位：山东省邹平县长山中学)