初中数学概念有效教学初探

卢燕

[摘 要] 数学概念是人们对数学事物本质的认识，是数学逻辑思维的最基本形式，是构建数学知识综合体系最基本的单元，是理解和掌握数学的基础. 初中数学是中学乃至大学数学知识的基础，学好初中数学对以后的数学学习道路起着奠基石的作用. 作为初中数学体系的基本单元，数学概念无疑是初中生最先需要掌握的知识，而这些概念的有效教学自然成了初中数学教学的重要组成部分.

[关键词] 数学概念；有效教学；教学模式

《义务教育数学课程标准》明确指出：让学生获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学本质. 概念是人们从对象的许多属性中，抽出本质属性概括出来的. 在概念形成阶段，人的认识已从感性认识上升到理性认识；而数学概念是人们对数学事物本质的认识，是数学逻辑思维的最基本形式，是构建数学知识综合体系最基本的单元，是理解和掌握数学的基础. 数学概念主要包括数学定理、定律、公式、法则等. 初中数学是中学乃至大学数学知识的基础，学好初中数学对以后的数学学习道路起着奠基石的作用. 作为初中数学体系的基本单元，数学概念无疑是初中生最先需要掌握的知识，而这些概念的有效教学自然成了初中数学教学的重要组成部分.

新课程实施以来，数学新教材对部分概念的教学内容的编排作了较大的改动. 如新教材提供了更为丰富的学习材料，增加了观察、实验、猜测、操作等数学活动，突出了数学概念的形成过程. 因此，新教材在数学概念的呈现方式上，比原教材更符合学生的认知特点和年龄特点.

然而，在当前的概念教学中存在僵化教条地讲授概念的现象，概念的本质揭示不透彻，忽视概念间的相互联系及概念的综合应用发展等问题，综合来讲，有如下几种常见问题.

初中数学课堂概念有效教学的问题所在

1. 概念教学走过场？摇

不少教师片面重视应用教学，而不重视概念教学，在讲概念时一带而过，常常采用“一个定义，三项注意”的方式，在概念的背景引入上着墨不够，没有给学生提供充分的概括本质特征的机会，不注意讲懂、讲透，让学生真正理解概念，把注意力和精力过多地投入到了应用教学上，认为让学生多做几道题目更实惠.

2. 概念教学不得法？摇

有的教师在教学概念时往往把一些新概念和盘托出，强输硬灌，要求学生去记一些现成的结论，学生囫囵吞枣，导致学生要非常透彻地理解、掌握几何概念存在一定的困难，往往只会死记硬背、照搬照抄，不会灵活应用. 因此，提高初中数学课堂几何概念教学的有效性显得尤为重要.

3. 教师的认识和教授方法的程度不同？摇

教师是课堂教学的组织者，由于个人的素质不同，其自身对数学概念的认识、理解及所采用的教学方法也不同，因此概念教学对学生会造成不同程度的影响. 例如，在学习“二次根式运算”时有些教师认为要补充“同类二次根式”“最简二次根式”的概念，学习“一元二次方程”时要补充“十字相乘法”. 有些教师又认为不需补充，以减轻学生的负担.

4. 学生的认知水平有限？摇

瑞士心理学家皮亚杰曾指出：“任何教学水平上，概念的形成乃是孩子活动和个体经验的结果. 从小学进入初中，是学生学习过程的一个重要的转折点. 学生正处在身心发生变化的时期，他们的认知能力也在逐步提高，理解是一个要由易到难、由简到繁的循序渐进的过程，然而每个学生的能力有差别. 例如，“把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫作把这个多项式分解因式”，这句话的正确理解是：左边是一个多项式（不是单项式）；右边是几个整式（不是分式）的积（不是加、减、除）的形式.有少部分学生在应用时还是没掌握，例如，下列从左到右的变形，是分解因式的是（ B ）

A. m（a-b）=am-bm

B. 4a2+4a+1=（2a+1）2

C. x2+1=xx+

D. a2-b2+1=（a+b）（a-b）+1

选A，C，D的学生大有人在. 事实说明，部分学生在数学学科的学习上不能顺利地完成这个转折，是因为他们首先在学习、掌握数学概念时遇到了困难，影响了后续的数学学习. 因此，研究概念教学的方法是初中数学教师的重要任务.

初中数学课堂概念有效教学的操作环节

根据初中数学课堂教学的内容，数学概念课教学模式为：探究数学概念产生的实际背景→提出数学新概念→揭示新概念的内涵与外延，以及与旧概念的联系→运用新概念解决问题→小结反思新概念形成的过程.本文将通过一则“教学案例”的简要分析谈谈笔者的一些具体做法.

教学内容：一元二次方程.

教学目标：在具体情境中理解一元二次方程的概念及一般形式；能通过代数式变形和等式变形辨别一元二次方程和二次项系数、一次项系数和常数项；让学生通过观察、分析、自主探索、小组合作，列出具体情境中的方程，经历一元二次方程概念的发生过程，培养学生概括、类比的能力；通过经历代数式变形和等式变形，培养学生化归的数学思想. 通过贴近生活的情境，体验数学来源于实践，反过来作用实践的辩证唯物主义观点；激发学生的学习兴趣，感受解决问题中合作学习与广泛交流的重要性，感受方程模型的特征；培养学生良好的数学思维品质，渗透类比思想和数学的应用价值.

教学过程：

1. 探究数学概念产生的实际背景

（1）教师活动. 课前准备：①在生产、生活实际中，一切事物间的数量关系都能用方程解决吗？②有关新概念“一元二次方程”的相关知识.

课前：①布置探究问题；②提供查询方向，将学生探索的结果进行引导、加工、组合.

（2）学生活动：①学生课前根据教师的问题通过多渠道查询（如网络、图书馆、个人资料、小组讨论、请教他人等），准备答案及素材；②亲身体验有趣而丰富的调查研究结果的过程，并形成一定的观点、看法；③学生之间交流、讨论并与教师交流所获得的信息，加工信息，写出结论.

简析：使学生通过收集和思考问题，尽快地投入到对新概念的探究中去，从而激发学生好奇、探究和创造欲望. 将获得的材料、信息在自己的大脑中进行比较分类，分析概括，从而提高学生的心理品质与思维能力，使学生养成一种喜欢探究问题的良好习惯.

（3）教学活动：学生收集问题举例（选择部分内容）.

根据下列问题列方程：

①一个两位数，十位数比个位数大3，十位数与个位数的和是7，求这个两位数.设个位上的数字为x，根据题意得______.

②一个正方形的面积的2倍等于15，求这个正方形的边长.设正方形的边长为a， 根据题意得______.

③甲、乙两人做某种零件，已知甲每小时比乙多做3个，甲做45个零件的时间与乙做30个零件的时间相同，问：乙每小时做多少个？设乙每小时做x个，根据题意得甲每小时做？摇______个.

④如图1，矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19 m，如果花圃的面积是24 m2，求花圃的长和宽. 设与墙垂直的一边为x m，则与墙平行的一边为______m，根据题意得______.

简析：通过列方程解决问题，引导学生与一元一次方程的概念作对比，为引出一元二次方程的有关内容做好铺垫. 让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的.从实际问题出发，经过数学化，与学生共同从中提炼出上述问题的共性特征：只含有一个未知数，并且未知数的最高指数幂是2的整式方程（叫作一元二次方程）.

2. 提出数学新概念

教师活动：介绍一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高指数幂是2的整式方程叫做一元二次方程.

3. 揭示新概念的内涵与外延，以及与旧概念的联系

学生练习：判断下列方程是否为一元二次方程.

①1-x2=0；

②2（x2-1）=3y；

③2x2-3x-1=0；

④x2+1=0；

⑤（x+3）2=（x-2）2；

⑥ax2=5-4x（a为常数，a≠0）；

⑦ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）.

学生判断结束后还可观察①和③两个方程在形式上有何特点，进而介绍一元二次方程的一般形式.

教师活动：介绍一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成形如ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c是常数）的形式. 这种形式叫一元二次方程的一般形式. 一次项系数b和常数项c可取任意实数，而二次项系数a必须是不等于0的实数.

简析：通过揭示新概念内涵、外延及其与旧概念（一元一次方程）的联系，使学生关注“一元二次方程”获得的途径；这番阅历使学生所学知识变得生动、形象、感人.

4. 运用新概念解决问题

略.

教师活动：

练习：把下列关于x的方程化成一般形式，并写出二次项和一次项系数.

①2x2-x=2；②2（x-1）（x+1）=3x；③3x2+mx-2x=3m.

变式训练：已知关于x的一个一元二次方程的二次项的系数为3，一次项系数为-1，常数项为-5，则这个方程为______.

能力提升：

1. 若方程mx2-x=2-3x2是关于x的一元二次方程，则m的取值为______；若方程mx2-x=2-3x2是关于x的一元一次方程，则m的值为______.

2. 若关于x的方程（m-2）|m|+2x-1=0是一元二次方程，则m的值为______.

3. 若关于x的方程（m-2）xm2-2+mx=7是一元二次方程，则m的值为______；若关于x的方程（m-2）xm2-2+mx=7是一元一次方程，则m的取值为______.

拓展延伸：

1. 已知关于x的一元二次方程x2+3x-5m=0有一个解是2，求m的值.

2. 若a是一元二次方程x2-3x-4=0的一个根，求2a2-6a+1的值.

在教师活动中，教师先给出例题，随后选代表回答，考查学生对一元二次方程一般形式的掌握程度. 化成一般式是本课的重点，因此再配2道题进行练习，加上前面预习题中的4道题能够较好地突破重点.

能力提升部分的问题为一元二次方程概念中的常见题型，通过此题让学生加深对定义和一般形式的理解，为其他字母系数问题做好准备. 其中第3题的第2问需进行分类讨论，开拓学生思维，体现数学的严谨性，使学生对所学知识有更深的理解并得到升华.

拓展延伸部分让学生进行充分思考、讨论，小组将讨论结果在小黑板上进行展示，体会数学思想方法.

简析：引进“变式训练”教学：①不但将学生的练习巩固化整为零，同时进行了整理分化以达到对“一元二次方程”概念的明确、清晰的描述.②“变式”带来的“对比式”教学：通过对比教学，让学生认识到一元二次方程与一元一次方程的区别与联系，在学生认知的最近发展区内，实施知识的迁移，领会蕴含其中的方法要点，让学生通过自主探索、小组合作，培养学生概括、类比的能力；通过经历代数式变形和等式变形，培养学生化归的数学思想.

学生掌握概念是一个主动的、复杂的心理过程，并不是教师把现成的概念简单地、原封不动地交给学生，而是结合他们自己已有的知识，运用较多的感性材料，通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括等一系列思维活动，得出事物的本质属性. 教师要善于抓住新旧知识的本质联系进行引导、启迪，让学生真正理解和掌握概念.总之，在新课程标准下的初中数学概念教学，应遵循从感性认识到理性认识，从特殊到一般的认识规律. 在不断的思考和探索中，选择恰当有效的教法，必然能够取得较好的教学成绩.