一节“准、深、透、高”的数学课——评张齐华老师“解决问题的策略——一一列举”一课

◇周卫东

一节“准、深、透、高”的数学课
——评张齐华老师“解决问题的策略——一一列举”一课

◇周卫东

听齐华的课，是一种享受。能为他的课作些点评，是我乐意做的！

苏教版教材从第二学段开始，每一册都编排了“解决问题的策略”，目的是让学生把解决问题的一些具体经验上升为数学思考，不断增强运用策略解决问题的有效性和自觉性，进一步提高解决问题的能力，不断积累数学活动经验,渗透初步的数学思想,发展实践能力与创新精神。齐华关于 “解决问题的策略——一一列举”一课的教学，正是在深刻洞悉教学内容意蕴的基础上，实现着符合自身教学追求和风格的一种完美呈现。细细品味，这是一节“准、深、透、高”的数学课。

一 准，关注策略机理的形成过程

美国著名的数学教育家赫斯认为：“数学教学的问题并不在于寻找最好的教学方式，而在于明白数学是什么，如果不正视数学的本质问题，便永远解决不了教学上的争议。”数学知识的本质既表现为隐藏在客观事物背后的数学知识、数学规律，又表现为隐藏在数学知识背后的本质属性。对策略的体验与理解,是学生形成解决问题策略的中心环节，亦是保底环节，必须让学生充分经历策略机理的形成过程，在“理”上做足文章。在齐华的这节课中，一方面,重视让学生探索相关解题策略的思考过程与操作步骤；另一方面，引导学生逐步把握相关策略的主要含义与基本特征，让学生在充分经历应用相关策略解决问题的探索过程中,获得对解决问题策略的直观感受,并形成初步的理性认识,逐步完成对策略的自主建构。为帮助学生理解“一一列举”的策略机理，首先，齐华安排学生进行前置性研究，给予学生充裕的时间和空间进行探索，以获得充分的感性认识和活动经验；然后在课堂上对“木条多余”“利用围墙”“添加支架”等原生态错例进行剖析，并加以提炼和升华，帮助学生建立起“吃透、吃准有用信息是建构策略的前提”的心理基础，进而通过算式、列表、画图等途径，从计算周长的维度找到问题的答案；最后，再从计算面积的维度反证 “王大伯的任务不可能实现”的推想。三大环节正推反证，逐层推进，形成了强大的“思维场”，促进了学生对策略机理的深度理解，进而实现对知识的有效建构。

二 深，关注数学思想的有机渗透

对“解决问题的策略”的教学，许多教师把教学目标定位于引导学生“如何列举”“如何画图”等具体方法，而忽视对课程标准中关于 “体会策略的价值”“增强学生使用策略的意识”的教学建议和要求。其实，解决问题的策略不仅仅对应的是某一种具体的方法，其背后蕴涵着丰富的数学思想方法。如，画图，蕴涵数形结合的思想和具体画图的方法；倒推，蕴涵过程或者运算的可逆性思想以及相应的互逆思想；替换，蕴涵过程中不变量的思想和相对应的等量关系……

在齐华看来，方法、策略、思想是三个递进的层次，数学方法上升到一定的高度形成策略，数学策略的进一步凝练形成了数学思想，而数学思想则是数学学科的核心元素。眼界决定境界，高度决定力度，因而，齐华的数学课总是因充满着浓浓的“思想味”而焕发出无穷的张力。在本课中，围绕“周长是22米”这一条件，让学生对各种可能的方法进行排序，突出“有序”“一一列举”，渗透了分类思想；把各种周长等于22米的算式与相应的图形进行匹配，让学生感受一道算式对应着一个长方形，渗透了对应的思想；对各种可能的算式进行排序后再进行对比，得出“一个加数在依次增大，另一个加数在依次减小，而两个加数的和是不变的”的结论，渗透了“变与不变”的思想；在第一个学生回答“如果长是7米、宽是4米，面积不等于20平方米，所以王大伯的愿望不可能实现”的结论后，引导学生萌发“你只举了一个例子是不能说明问题的，因为周长是22米的长方形有好几种，万一另外有一种长方形的面积正好是20平方米呢”的辩证思想，形成了初步的逻辑推理、科学归纳的启蒙意识。

三 透，关注知识教学的隐性价值

齐华深知，每一种策略都具有战略性的思想价值，也就是说，它背后有着更强大的现实意义和运用意义。因而他倡导：学习每一种策略，都要力求揭示这种策略的价值和意义，不仅让学生了解到运用一些策略能够解决一些典型的问题，而且力求找寻知识的“附加值”，寻找知识的隐性教学功能，带领学生体会那种登高远眺、“一览众山小”的快感。

教材中的例题是：“王大叔用22根1米长的木条围成一个长方形花圃，怎样围面积最大？”齐华把它改编成：“王大伯想用22根1米长的木条，围一个面积是20平方米的长方形花圃。如果22根木条要全部用完，而且不能折断，你觉得他能完成这一任务吗？”文字变化似乎不大，但细细琢磨，深感意蕴无穷。稍稍改动，使例题有了较大的“增值”空间，为学生思维的自由驰骋、知识之间的沟通创造了更多的可能。原本的例题，只要在周长维度上实现列举，就能找到面积最大的一种情况，而改编后的问题，不仅具有原来的功能，而且可以从面积的维度来反证列举的各种可能；原本的例题，以直白的求解的姿态呈现，而改编后的问题，以“你觉得他能完成这一任务吗”这种“判断式”的方式呈现，又使思考、求解的路径多了许多；原本的例题带来的只有“周长一定，面积在变化”的规律，而改编后的例题，除此之外还多了“面积一定，周长在变化”的规律。

在练习阶段，齐华精心设计了“两枚硬币同时抛起，落地后，会出现几种不同的情况”这一问题，题目虽短却掀起 “轩然大波”：究竟是正正、反反和一正一反3种情况，还是正正、反反、正反和反正4种情况呢？正反与反正是1种情况还是2种情况呢？再次“撩”起学生的兴趣和探求欲，并进而在实验操作中达成了共识：两枚硬币落下后，正反与反正不是一回事，而是两回事。这样的训练，使学生在巩固应用了“一一列举”策略的同时，更为深刻地理解了在 “一一列举”中可能涉及的概率问题。

这样的设计，不是奔着理解某个知识点或找到一种解决问题方法的单一目标 “匆匆而去”，而是具有“慢慢走，欣赏啊”的从容心态，有着更为宏观的学科视野。

四 高，关注教学方式的根本改变

对于课堂教学状况，数学教育家弗赖登塔尔曾戏称：“每一个人都在睡觉，仅有一个人在讲，这种状态就是教学。”毋庸讳言，当前的数学课走进了一个怪圈，要走出这个怪圈，需要勇气，需要才气，更需要底气。这方面，齐华做到了：“齐华义无反顾地转身了，如果他不转，我们就欣赏不到今天这么精彩的课了。你看，齐华都把课堂还给学生了，我们还死死把控着课堂的每个环节，何苦呢？ ”[陈洪杰，《小学教学（数学版）》2016年第1期]

在这节课中，齐华“讷于言而敏于行”，话真的很少，没有了我们所习惯且叹为观止的“齐华式”语言，而更多的是一些提示性的、启发式的、鼓励式的提示语。齐华很善于“造势”，让学生主动出击，充分表达各自的所思所想，并“顺其势而改其路，四两拨千斤”。这种相机穿插于学生自主学习过程中的引导，把握方向性，具备整体观，做到服务学生的学，促进学生的学，而不是遮蔽学生的学、替代学生的学。

美国经济学界和政界划时代的学者约翰·肯尼思·加尔布雷有一句名言：“当人们证明改变思想和没有必要改变思想的选择时，人人都忙着证明后者。”是的，思想的改变是行动改变的前提。齐华课堂的改变，让我们承认，学习在本质上是学生自己的事情，教学所应发挥的作用应该是帮助、促进和催生，而不是替代；让我们承认，教学促进学生的可持续发展，兴趣和好奇心、方法和能力对学习力的培养至关重要；让我们承认，学习不只是知识的累积，更是自我的完善与创造。只有会学习、会思考、会探索，爱提问、爱沟通、爱合作、善交流，学生的灵性才能得到舒展，智慧才能得到绽放。

（作者单位：江苏南京市长江路小学）